Cho tam giác ABC có 3 góc nhon( AB <AC). Đường cao BE,AK,CF cắt nhau tại H. D là giao của BC và EF, N là giao AK và EF. O,I lần lượt là trung điểm BC và AH. C/m: ON vuông góc DI.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.


\(\dfrac{1}{x^2\left(y-z\right)}=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow x^2=-\dfrac{5}{3\left(y-z\right)}\)
\(\dfrac{1}{y^2\left(z-x\right)}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow y^2=\dfrac{3}{\left(z-x\right)}\)
\(\dfrac{1}{z^2\left(x-y\right)}=3\Rightarrow z^2=\dfrac{1}{3\left(x-y\right)}\)
\(A=x^2.y^2.z^2=-\dfrac{5}{3\left(y-z\right)}.\dfrac{3}{z-x}.\dfrac{1}{3\left(x-y\right)}=\)
\(=-\dfrac{5}{3}.\dfrac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x-y\right)}=\)

\(B=\left(\dfrac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\dfrac{1-\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\right)^2\)
\(=\left(a+2\sqrt{a}+1\right)\left(\dfrac{1}{1+\sqrt{a}}\right)^2\)
\(=\left(\sqrt{a}+1\right)^2.\dfrac{1}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}=1\)
\(C=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left[\left(\dfrac{x+y}{xy}\right).\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^3}.\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\right)\right]\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left[\dfrac{x+y}{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}+\dfrac{2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\right]\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left[\dfrac{x+y}{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}+\dfrac{2\sqrt{xy}}{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\right]\)
\(=\dfrac{x-y}{xy\sqrt{xy}}:\left[\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\right]\)
\(=\dfrac{x-y}{xy\sqrt{xy}}:\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\right]=\dfrac{x-y}{xy\sqrt{xy}}.xy\)
\(=\dfrac{x-y}{\sqrt{xy}}\)
\(=\dfrac{2-\sqrt{3}-\left(2+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}}=\dfrac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{4-3}}=-2\sqrt{3}\)
\(A=\dfrac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{2+\sqrt{6+2\sqrt{5}}}+\dfrac{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{5}\right)}{2-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{2+\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{5}\right)}{2-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{2+\sqrt{5}+1}+\dfrac{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{5}\right)}{2-\left(\sqrt{5}-1\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{3+\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{5}\right)}{3-\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{2}\left(\dfrac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)+\left(1-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}\right)\)
\(=\sqrt{2}.\left(\dfrac{-4}{9-5}\right)=-\sqrt{2}\)

Bài toán này liên quan đến hình học và tính toán trên đường tròn. Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức hình học cơ bản.
a) Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường AB, ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
b) Để tính số đo cung nhỏ AB, ta cần sử dụng công thức tính độ dài cung trên đường tròn.
c) Để tính diện tích hình bán nguyệt giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích hình tròn và hình tam giác.
d) Để tính IA và IB, ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác vuông và các công thức hình học khác.

Để chứng minh rằng (2 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2}) là số vô tỉ, ta cần chứng minh rằng tổng này không thể biểu diễn dưới dạng một tỉ số của hai số nguyên. Để làm điều này, ta có thể chứng minh bằng phản chứng, giả sử rằng tổng đó là một số tỉ.
nhớ tick cho mik nhé

\(VT=\left(1+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot\left(1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\\ =\left[1+\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right]\cdot\left[1-\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right]\\ =\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)\\ =1-\left(\sqrt{a}\right)^2\\ =1-a=VP\)

a.
\(\sqrt{x^2-4x+1}=x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2-4x+1=x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\-4x+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{4}\)
b.
\(\sqrt{5x^2-2x+2}=x+1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\5x^2-2x+2=\left(x+1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\4x^2-4x+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
c.
\(\sqrt{x^2-8x+16}=4-x\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(4-x\right)^2}=4-x\)
\(\Leftrightarrow\left|4-x\right|=4-x\)
\(\Leftrightarrow4-x\ge0\)
\(\Rightarrow x\le4\)
d.
\(\sqrt{3x+1}=\sqrt{4x-3}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-3\ge0\\3x+1=4x-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{4}\\x=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=4\)

a:Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại D
Xét (O) có \(\widehat{AKB};\widehat{ACB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB
nên \(\widehat{AKB}=\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{ACB}=\widehat{AHE}\left(=90^0-\widehat{DAC}\right)\)
nên \(\widehat{AKB}=\widehat{AHE}\)
=>\(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\)
=>AK=AH
b: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)
mà \(\widehat{CEF}+\widehat{AEF}=180^0\)
nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
DO đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
=>\(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên FE//Ax
mà Ax\(\perp\)OA
nên OA\(\perp\)EF

\(3\left(x^2+2x-1\right)-2\left(x^2+3x-1\right)+5x^2=0\)
=>\(3x^2+6x-3-2x^2-6x+2+5x^2=0\)
=>\(6x^2-1=0\)
=>\(6x^2=1\)
=>\(x^2=\dfrac{1}{6}\)
=>\(x=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{6}\)