Xét ΔAHB vuông tại H có \(sinB=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(\dfrac{AH}{6}=sin40\)

=>\(AH=6\cdot sin40\simeq3,86\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HB=\sqrt{AB^2-AH^2}\simeq4,59\left(cm\right)\)

Ta có: ΔAHB vuông tại H

=>\(\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>\(\widehat{HAB}=90^0-40^0=50^0\)

Ta có: \(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}\)

=>\(\widehat{HAC}=60^9-50^0=10^0\)

Xét ΔAHC vuông tại H có \(tanHAC=\dfrac{HC}{AH}\)

=>\(\dfrac{HC}{3,86}=tan10\)

=>\(HC\simeq0,68\left(cm\right)\)

ΔHAC vuông tại H

=>\(HA^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC\simeq\sqrt{0,68^2+3,86^2}\simeq3,92\left(cm\right)\)

\(\text{Δ}=\left[2\left(m+3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(4m+2\right)\)

\(=4m^2+24m+36-16m-8\)

\(=4m^2+8m+28=4m^2+8m+4+24=\left(2m+2\right)^2+24>=24>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m+6\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=4m+2\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x_1-1}+\sqrt{x_2-1}=3\)

=>\(x_1-1+x_2-1+2\sqrt{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=9\)

=>\(2m+6-2+2\sqrt{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=9\)

=>\(2m+4+2\sqrt{4m+2-2m-6+1}=9\)

=>\(2\sqrt{2m-3}=9-2m-4=-2m+5\)

=>\(\sqrt{8m-12}=-2m+5\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2m+5>=0\\\left(-2m+5\right)^2=8m-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< =\dfrac{5}{2}\\4m^2-20m+25-8m+12=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =\dfrac{5}{2}\\4m^2-28m+37=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\dfrac{7-2\sqrt{3}}{2}\)

ΔCAB cân tại C

mà CP là đường trung tuyến

nên CP\(\perp\)AB tại P

=>ΔPBC vuông tại P

Xét ΔCAB cân tại B có BN là đường trung tuyến

nên BN\(\perp\)AC tại N

=>ΔBNC vuông tại N

Xét tứ giác BPNC có \(\widehat{BPC}=\widehat{BNC}=90^0\)

nên BPNC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,P,N,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

=>\(R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}\)

Gọi O là trung điểm của BD

Xét ΔABD có AB=AD và \(\widehat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

Xét ΔCBD có CB=CD và \(\widehat{BCD}=60^0\)

nên ΔBCD đều

ta có: ΔABD đều

mà DE là đường trung tuyến

nên DE\(\perp\)AB

=>ΔDEB vuông tại E

=>E nằm trên đường tròn đường kính BD(1)

Ta có: ΔABD đều

mà BH là đường trung tuyến

nên BH\(\perp\)AD tại H

=>ΔBHD vuông tại H

=>H nằm trên đường tròn đường kính BD(2)

Ta có: ΔCBD đều

mà DF là đường trung tuyến

nên DF\(\perp\)BC tại F

=>F nằm trên đường tròn đường kính BD(3)

Ta có: ΔCBD đều

mà BG là đường trung tuyến

nên BG\(\perp\)CD tại G

=>G nằm trên đường tròn đường kính BD(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra E,H,D,G,F,B cùng thuộc một đường tròn

Xét ΔMIB có

MD là đường cao

MD là đường trung tuyến

Do đó: ΔMIB cân tại M

=>MI=MB

Xét ΔMKC có

ME là đường cao

ME là đường trung tuyến

Do đó: ΔMKC cân tại M

=>MK=MC

Ta có: MI=MK=MB=MC

=>I,K,B,C cùng thuộc đường tròn (M)

a<b

=>a+3<b+3

mà b+3<b+5

nên a+3<b+5

a: Xét ΔBMO có \(\widehat{BMO}+\widehat{MBO}+\widehat{MOB}=180^0\)

=>\(\widehat{BMO}+\widehat{MOB}=180^0-60^0=120^0\)(1)

\(\widehat{MOB}+\widehat{MON}+\widehat{NOC}=180^0\)

=>\(\widehat{MOB}+\widehat{NOC}=180^0-60^0=120^0\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{BMO}=\widehat{CON}\)

Xét ΔBMO và ΔCON có

\(\widehat{BMO}=\widehat{CON}\)

\(\widehat{MBO}=\widehat{OCN}\left(=60^0\right)\)

Do đó: ΔBMO~ΔCON

b: ΔBMO~ΔCON

=>\(\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{BM}{CO}=\dfrac{BM}{BO}\)

c:

\(\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{BM}{BO}\)

=>\(\dfrac{BM}{OM}=\dfrac{BO}{ON}\)

Xét ΔBMO và ΔOMN có

\(\dfrac{BM}{OM}=\dfrac{BO}{ON}\)

\(\widehat{MBO}=\widehat{MON}\left(=60^0\right)\)

Do đó: ΔBMO~ΔOMN

=>\(\widehat{BMO}=\widehat{OMN}\)

=>MO là phân giác của góc BMN

1:ΔABC cân tại A

mà AH là đường trung tuyến

nên AH\(\perp\)BC tại H

Xét tứ giác AHCD có

O là trung điểm chung của AC và HD

=>AHCD là hình bình hành

Hình bình hành AHCD có \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên AHCD là hình chữ nhật

2: AHCD là hình chữ nhật

=>AD//HC và AD=HC

Ta có: AD//HC

=>AD//HB

Ta có: AD=CH

mà CH=HB

nên AD=HB

Xét tứ giác ADHB có

AD//HB

AD=HB

Do đó: ADHB là hình bình hành

3: \(CH=\dfrac{CB}{2}=3\left(cm\right)\)

AHCD là hình chữ nhật

=>\(S_{AHCD}=AH\cdot HC=4\cdot3=12\left(cm^2\right)\)