\(PT\Leftrightarrow5x^2+x\left(5y-7\right)+5y^2-14y=0\)

\(\Delta=\left(5y-7\right)^2-4.5.\left(5y^2-14y\right)\)

   \(=196-3\left(5y-7\right)^2\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Rightarrow\left(5y-7\right)^2\le65\)

Mặt khác \(5y-7\equiv3\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow\left(5y-7\right)^2\equiv4\left(mod5\right)\)

do đó \(\left(5y-7\right)^2\in\left\{4,9,14,19,24,29,34,39,44,49,54,59,64\right\}\)

mà (5y-7)² là số chính phưng nên \(\left(5y-7\right)^2\in\left\{4,9,64\right\}\)

Từ đó tính ra

\(5\left(x^2+xy+y^2\right)=7\left(x+2y\right)\)

\(\Leftrightarrow5x^2+5xy+5y^2-7x-14y=0\)

\(\Leftrightarrow5x^2+x\left(5y-7\right)+5y^2-14y=0\)

\(\Rightarrow\Delta_x=\left(5y-7\right)^2-4\cdot5\cdot\left(5y^2-14y\right)\)

\(=-75y^2+210y+49\)

\(=196-3\left(25y^2-2\cdot5y\cdot7+79\right)\ge0\)

\(=196-3\left(5y-7\right)^2\ge0\)

Để phương trình có nghiệm nguyên thì \(\Delta_x\ge0\Leftrightarrow\left(5y-7\right)^2\le65\)

Nhận thấy \(5y-7\equiv3\left(mod5\right)\Rightarrow\left(5y-7\right)^2\equiv4\left(mod5\right)\)

Do đó \(\left(5y-7\right)^2\in\left\{4;9;14;19;24;29;34;39;44;49;54;59\right\}\)

Mà \(\left(5y-7\right)^2\)chinh phương nên \(\left(5y-7\right)^2\in\left\{4;9;49\right\}\)

Đến đây ta xét trường hợp là ra.

Ta có \(\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1\ge a\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge a+ab+1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\)

Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\)

             \(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)

Cộng từng vế các bđt trên ta được

\(VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)

Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có

\(VT\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(=\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ab}\right)}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Đoán xem

ta có \(\Delta'=\left(m-1\right)^2\ge0,\forall m\)  nên phương trình có 2 nghiệm zới mọi m

theo định lý vi-et, ta có \(x_1+x_2=2m,x_1x_2=2m-1,\)suy ra \(P=\frac{4m+1}{4m^2+2}=1-\frac{\left(2m-1\right)^2}{4m^2+2}\le1.MaxP=1\)khi\(m=\frac{1}{2}\)

bạn ơi , nếu làm đc thì ko đăng lên thách thức nhá

nhiều người làm đc

nói thế dễ bị hiểu lafmd đấy

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và a+1         ( \(a\in N\) )

Theo bài ra ta có

\(a^2+\left(a+1\right)^2=88\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2a+1=88\)

\(\Leftrightarrow2a\left(a+1\right)=87\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)=\frac{87}{2}\)

Mà \(a\in N\)

\(\Rightarrow\)Ko có giá trị a thỏa mãn

Vậy ...