a) ta có

\(a\left(a+d\right)-a\left(b+c\right)=a^2+ad-ab-ac=a^2+bc-ab-ac=\left(a-b\right)\left(a-c\right)>0\)

do đó \(a\left(a+d\right)>a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a+d>b+c\)

b) ta có 

\(1\ge\left(\sqrt{d}-\sqrt{a}\right)^2=a+d-2\sqrt{ad}=>2\sqrt{ad}\ge a+d-1\)

mặt khác \(2\sqrt{ad}=2\sqrt{bc}\le b+c\)

suy ra \(b+c\ge a+d-1>b+c-1.DO\left(a+d-1\right)\)là số nguyên nên a+d-1=b+c

do đó

\(2\sqrt{ad}=a+d-1\Leftrightarrow\sqrt{d}-\sqrt{a}=1\Leftrightarrow\sqrt{d}=\sqrt{a}+1\)

bình phương 2 zế ta có

\(d=a+2\sqrt{a}+1\Leftrightarrow\sqrt{a}=\frac{d-a-1}{2}\)

do đó căn a là số hữu tỷ . MÀ a là số nguyên dương nên căn a là số nguyên . zì zậy a là số chính phương

Tks nhiều ạ @@

Gọi tuổi con hiện nay là x ( tuổi ) ( x > 0 )

Tuổi mẹ hiện nay là : 4x + 1 ( tuổi )

Tuổi con 6 năm nữa là : x + 6 ( tuổi )

Tuổi mẹ 6 năm nữa là : 3( x + 6 ) - 2 ( tuổi )

Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con không bao giờ thay đổi nên ta có phương trình :

4x + 1 - x = 3( x + 6 ) - 2 - ( x + 6 )

\(\Leftrightarrow\)3x + 1 = 3x + 18 - 2 - x - 6

\(\Leftrightarrow\)3x - 3x + x =  -1 +18 - 2 - 6x

\(\Leftrightarrow\)x = 9 ( tmđk )

\(\rightarrow\)Tuổi mẹ hiện nay là : 4x + 1 = 4 \(\times\) 9 + 1 = 37 ( tuổi )

Vậy hiện nay con 9 tuổi mẹ 37 tuổi.

Tham khảo nhe bạn !
 

a) \(\widehat{AEB}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

suy ra BE zuông góc zới AK

\(\widehat{EBO}=\widehat{xAE}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{AE}\right)\)

\(\widehat{CBE}=\widehat{EAC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{EC}\)

mà góc xAE = góc EAC nên góc CBE= góc EBO hay BE là tia phân giác của góc ABK

tam giác ABK có BE zừa là đường cao zừa là phân giác nên tam giác ABK cân tại K

b) góc ACB = 90 độ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên AC zuông góc zới BK

I là giao điểm của 2 đường cao trong tam giác AKB nên I là trực tâm của tam giác AKB 

ta có KI zuông góc zới AB mà Ax cx zuông góc zới AB 

=> KI//Ax

c) zì góc xAE= góc EAC nên \(\widebat{AE}=\widebat{EC},=>EA=EC\)zậy E nằm trên đường trung trực của AC

mặt khác OA=OC nên O nằm trên đường trung trực cửa AC . Do đó OE là đườn trung trực của AC , suy ra OE zuông góc zới AC mà BC zuông zới AC 

=> OE//BC

a) CA=CM ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau )

DB=DM(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=>CD=CM+MD=CA+DB

hay CD=AC+BD

OC là tia phân giác của góc AOM

OD là tia phân giác của góc BOM

mà góc AOM kề bù zới góc BOM 

=> góc COD =90 độ

Zậy tam giác COD zuông tại O

b)tam giác COD zuông tại O có OM zuông góc zới CD

=>\(OM^2=CM.MD\left(2\right)=>AC.BD=R^2\)

c) tam giác BMD đều

\(S_{BMD}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}đzịdt\)

d) Chưng minh MN song song zới AC bằng định lý TA-lét đảo nhá 

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x ngày (x > 0)

\(\Rightarrow\)Mỗi ngày người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\)công việc .

\(\Rightarrow\)Mỗi ngày người thứ hai làm được \(\frac{1}{2x}\)công việc

Vì hai người cùng làm 1 công việc trong 2 ngày thì xong

\(\Rightarrow\)Mỗi ngày hai người cùng làm được \(\frac{1}{2}\)công việc

Ta có phương trình :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2+1}{2x}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{2x}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất làm xong công việc trong 3 ngày

       nếu làm một mình thì người thứ hai làm xong công việc trong 3.2 = 6 ngày