Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
PT
1
NN
22 tháng 11 2020
Xét VP ta có:
\(\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+a^1b^{n-2}+b^{n-1}\right)\)
\(=a.a^{n-1}+a^{n-2}b.a+...+a^1b^{n-2}.a+b^{n-1}.a-a^{n-1}.b-a^{n-2}.b.b+...+ab^{n-2}.b+b^{n-1}.b\)
\(=a^n+a^{n-1}b+...+a^2b^{n-2}+b^{n-1}.a-a^{n-1}.b-a^{n-2}.b^2+...+ab^{n-2}+b^n\)
\(=a^n+b^n=VP\)( đpcm )
TD
0
TD
0
Đặt \(\left(a,b,c\right)\rightarrow\left(x^3,y^3,z^3\right)\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=1\end{cases}}\)và ta cần tìm GTLN của \(P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(3a.a.b\le a^3+a^3+b^3=2a^3+b^3\); \(3a.b.b\le a^3+b^3+b^3=a^3+2b^3\)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên, ta được: \(3ab\left(a+b\right)\le3\left(a^3+b^3\right)\Rightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Áp dụng, ta được: \(P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+1}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+1}\)\(=\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1