\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne\pm2\end{cases}}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{2}{\sqrt{x}+2}-\frac{4\sqrt{x}}{x-4}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{x+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{x-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

Để P là số nguyên \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)là số nguyên

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2⋮\sqrt{x}+2\)

\(\Leftrightarrow4⋮\sqrt{x}+2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{-3;-1;-4;0;-6;2\right\}\)

Loại những giá trị \(\sqrt{x}\in\left\{-3;-1;-4;-6;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy để P là số nguyên \(\Leftrightarrow x=0\)

Cho mình sửa 1 chút nhé :

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4\end{cases}}\)

\(x^2-2\left(m-1\right)x+m-3=0\left(a=1;b=-2m+2;c=-3\right)\)

a, Ta có : \(\left(-2m+2\right)^2-4\left(m-3\right)=4m^2+4-4m+12=4m^2+16-4m\)

Dùng HĐT mà giải nốt 

Ta có : \(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2+m+1=0\left(a=1;b=-2m+2;c=m^2+m+1\right)\)

\(\Delta=\left(-2m+2\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)=4m^2+4-4m^2-4m-4=-4m< 0\)

Nếu \(-4m< 0\Leftrightarrow m>0\) chắc ĐK là vậy.

Theo hệ thức Vi et ta có : \(x_1+x_2=2m+2;x_1x_2=m^2+m+1\)

Theo bài ra ta có : \(x_1^2+x_2^2=4x_1x_2-2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4x_1x_2-2\) Thay vao ta có pt mới : 

\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)=4\left(m^2+m+1\right)-2\)

\(\Leftrightarrow4m+4-4m^2-m-1=4m^2+4m+4-2\)

\(\Leftrightarrow3m+3-4m^2=4m^2+4m+2\)

\(\Leftrightarrow-m+1-8m^2=0\) Ta có : \(\left(-1\right)^2-4\left(-8\right)=1+32=33>0\)

\(x_1=\frac{1-\sqrt{33}}{-16};x_2=\frac{1+\sqrt{33}}{-16}\)

Tớ ngu ! tớ nhận. 

Sửa từ dòng 4 trở lên.

\(\Leftrightarrow4m^2+4-4m^2-m-1=4m^2+4m+4-2\)

\(\Leftrightarrow3-m=4m^2+4m+2\)

\(\Leftrightarrow3-m-4m^2-4m-2=0\)

\(\Leftrightarrow1-5m-4m^2=0\)Ta có : \(\left(-5\right)^2-4\left(-4\right)=25+16=41>0\)

\(x_1=\frac{5-\sqrt{41}}{-4};x_2=\frac{5+\sqrt{41}}{-4}\)