gt <=> \(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)

<=> \(\frac{\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\) 

<=> \(\frac{\left(x-1\right)-\left(y-1\right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)

<=> \(\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}\right)=0\)      (1)

Mà theo ĐKXĐ thì: \(x;y\ge1\)

=> \(x+y\ge2>0\)

Mà \(\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}>0\)

=> \(x+y+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}>0\)       (2)

Từ (1) và (2) thì: 

=> \(x=y\)

VẬY TA CÓ ĐPCM.

gt <=> \(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(\left(y-1\right)+\sqrt{\left(y-1\right)^2+2}\right)=2\)

Đặt \(x=a;y-1=b\)

=> gt trở thành: \(\left(a+\sqrt{a^2+2}\right)\left(b+\sqrt{b^2+2}\right)=2\)    (1)

Lần lượt có: \(\left(\sqrt{a^2+2}+a\right)\left(\sqrt{a^2+2}-a\right)=2\)    (2) 

Và \(\left(\sqrt{b^2+2}+b\right)\left(\sqrt{b^2+2}-b\right)=2\)    (3)

TỪ (1); (2); (3) => \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{a^2+2}-a\right)=\sqrt{b^2+2}+b\\\sqrt{b^2+2}-b=\sqrt{a^2+2}+a\end{cases}}\)

Ta cộng từng vế của 2 pt trên lại, ta được: 

=> \(\sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}-\left(a+b\right)=\sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\left(a+b\right)\)

<=> \(2\left(a+b\right)=0\)

<=> \(a+b=0\)

Thay lại: a = x; b = y - 1

=> \(x+y-1=0\)

<=> \(x+y=1\)

=> \(x^3+y^3+3xy=x^3+y^3+3xy.1=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)^3=1^3=1\)

Vậy \(x^3+y^3+3xy=1\)

TA CÓ ĐPCM

CÂU 1:

\(A=\sqrt[4]{\left(2\sqrt{6}+5\right)^2}+\sqrt[4]{\left(5-2\sqrt{6}\right)^2}\)

\(A=\sqrt{2\sqrt{6}+5}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}\)

\(A=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

\(A=2\sqrt{3}\)

CÂU 1:

\(B=\left(1+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(B=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)\)

\(B=1-a\)

Vậy \(B=1-a\)

a) ĐKXĐ: x \(\ge\)0; x \(\ne\)4; x \(\ne\)9

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{3\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-5\sqrt{x}+6}\)

\(P=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(P=\frac{x-4-x+2\sqrt{x}+3-3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

P = \(\frac{-4+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

P = \(\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(P=\frac{2}{\sqrt{x}-3}\)

b) Ta có: P < -1 <=> \(\frac{2}{\sqrt{x}-3}< -1\) <=> \(\frac{2}{\sqrt{x}-3}+1< 0\)

<=> \(\frac{2+\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}< 0\) <=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}< 0\)

TH1: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1< 0\\\sqrt{x}-3>0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x< 1\\x>9\end{cases}}\)(loại)

TH2: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1>0\\\sqrt{x}-3< 0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x>1\\x< 9\end{cases}}\)

Kết hợp vs đk => S = {x|1  < x < 9 và x \(\ne\)4}

c) Để P nguyên <=> 2 \(⋮\)\(\sqrt{x}-3\) <=> \(\sqrt{x}-3\inƯ\left(2\right)=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Lập bảng: tự làm

@Edogawa Conan phân số thứ 2 bạn bị sai rồi \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)=x+2\sqrt{x}-3\)

trước phân số là dấu "-" phải đổi dấu

a) ĐKXĐ: x \(\ge\)0; x \(\ne\)4

Ta có: P = \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+5}{x-\sqrt{x}-2}\)

P = \(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{x+5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

P = \(\frac{x-3\sqrt{x}+2-x-4\sqrt{x}-3-x-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

P = \(\frac{-x-7\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

P = \(\frac{-\left(x+6\sqrt{x}+\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

P = \(\frac{-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

P = \(-\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-2}\)

b) Với x \(\ge\)0 và x \(\ne\)4, ta có:

P > -1 <=> \(-\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-2}>-1\)

<=> \(-\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-2}+1>0\)

<=> \(\frac{\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}-2}>0\)

<=> \(\frac{-8}{\sqrt{x}-2}>0\)

Do -8 < 0 => \(\sqrt{x}-2< 0\) <=> \(\sqrt{x}< 2\)<=> \(x< 4\)

mà x \(\ge0\) => 0 \(\le\)x \(< \)4

c)Với x \(\ge\)0 và x \(\ne\)4

Để P \(\in\)Z <=> -8 \(-8⋮\sqrt{x}-2\)

<=> \(\sqrt{x}-2\inƯ\left(-8\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8\right\}\)

Do \(\sqrt{x}\ge0\) <=> \(\sqrt{x}-2\ge-2\) => \(\sqrt{x}-2\in\left\{-2;-1;1;2;4;8\right\}\)

Lập bảng: 

Vậy ....

Câu b, c tương tự câu a. Mình làm câu a coi như tượng trưng nha !!!!!!

a) Đặt: \(A=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)

<=> \(A^3=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+3\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}.\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)\)

<=> \(A^3=4+3\sqrt[3]{4-5}.A\)

<=> \(A^3=4-3A\)

<=> \(A^3+3A-4=0\)

<=> \(\left(A-1\right)\left(A^2+A+4\right)=0\)

Có:     \(A^2+A+4=\left(A+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}>0\)

=>    \(A-1=0\)

<=> \(A=1\)

=> \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1\)

VẬY TA CÓ ĐPCM

\(\sqrt{13-4\sqrt{3}}-\sqrt{37-20\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{12-4\sqrt{3}+1}-\sqrt{25-20\sqrt{3}+12}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{\left(5-2\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\left|2\sqrt{3}-1\right|-\left|5-2\sqrt{3}\right|\)

\(=2\sqrt{3}-1-5+2\sqrt{3}\)

\(=4\sqrt{3}-6\)

a) \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}-\sqrt{27+10\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{9-6\sqrt{2}+2}-\sqrt{25+10\sqrt{2}+2}\)

\(=\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^2}-\sqrt{\left(5+\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\left|3-\sqrt{2}\right|-\left|5+\sqrt{2}\right|\)

\(=3-\sqrt{2}-5-\sqrt{2}=-2-2\sqrt{2}\)

b) \(\sqrt{13-4\sqrt{3}}-\sqrt{16-8\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{12-4\sqrt{3}+1}-\sqrt{12-8\sqrt{3}+4}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{\left(2\sqrt{3}-2\right)^2}\)

\(=\left|2\sqrt{3}-1\right|-\left|2\sqrt{3}-2\right|\)

\(=2\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}+2\)

\(=1\)

nếu trong biểu thức thì viết như này , còn trình bày thì anh kid đã làm rồi

a, \(đk:x>2\)

b, \(đk:x\ge0;x\ne9\)

a)

Các biểu thức sau có nghĩa khi \(\frac{1}{x^2-4}>0;x^2-4\ne0\Rightarrow x>2\)

b)

Biểu thức có nghĩa khi \(x\ge0;x\ne9\)

Đề sai đâu đó nhỉ, mình nghĩ là:

\(x^2y^2-xy=x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2=x^2+xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+xy=\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow xy\left(xy+1\right)=\left(x+y\right)^2\)

VP là số chính phương nên VT phải là số chính phương. Bạn hiểu ý mình rồi chứ :D