Điều kiện \(x\ge1\)Aps dụng BĐT AM-GM ta có

              \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}=\sqrt{1\left(x-\frac{1}{x}\right)}\le\frac{1+x-\frac{1}{x}}{2}\)

              \(\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{\frac{1}{x}\left(x-1\right)}\le\frac{\frac{1}{x}+x-1}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\le x\)Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=1\\x-1=\frac{1}{x}\end{cases}\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}}\)

Cặp có thứ tự các số nguyên \(\left(x,y\right)\)được gọi là điểm nguyên thủy nếu ước số chung lớn nhất của \(x\) và \(y\) bằng 1. Cho tập \(S\)gồm hữu hạn điểm nguyên thủy. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \(n\)và các số nguyên \(a_1,a_2,...,a_n\) sao cho với mỗi điểm \(\left(x,y\right)\)thuộc \(S\), ta có:

                                      \(a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+...+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1\)

Một cô thợ săn và một con thỏ tàng hình chơi trò chơi sau trên mặt phẳng. Điểm xuất phát \(A_0\)của con thỏ và điểm xuất phát \(B_0\)của cô thợ săn trùng nhau. Sau \(n-1\)lượt chơi, con thỏ ở điểm \(A_{n-1}\)và cô thợ săn ở điểm \(B_{n-1}\). Ở lượt chơi thứ \(n\), có ba điều lần lượt xảy ra theo thứ tự dưới đây:

   \(\left(i\right)\)     Con thỏ di chuyển một cách không quan sát được tới điểm \(A_n\)sao cho khoảng cách giữa \(A_{n-1}\)và \(A_n\)đúng bằng 1.

   \(\left(ii\right)\)    Một thiết bị định vị thông báo cho cô thợ săn về một điểm \(P_n\)  , đảm bảo khoảng cách giữa \(P_n\)và \(A_n\)không lớn hơn 1.

   \(\left(iii\right)\)  Cô thợ săn di chuyển một cách quan sát được tới điểm  \(B_n\)sao cho khoảng cách giữa \(B_{n-1}\)và \(B_n\)đúng bằng 1.

Hỏi điều sau đây sai hay đúng: cho dù con thỏ có di chuyển như thế nào và các điểm được thiết bị định vị thông báo có là những điểm nào, cô thợ săn luôn có thể chọn cho mình cách di chuyển sao cho sau \(10^9\)lượt chơi, cô ta có thể khẳng định chắc chắn rằng khoảng cách giữa mình và con thỏ không vượt quá 100?