Dễ dàng chứng minh được:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)

Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)

Chứng mih tương tự, ta được;

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)

Từ (3), (4), (5), ta được:

\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)

Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:

\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)

Từ (2) và (6), ta được:

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)

Lấy phương trình (1) + (2) ta được : 

\(\left|x-1\right|+2\sqrt{y+2}+3\sqrt{y+2}-\left|x-1\right|=10\)

\(\Leftrightarrow5\sqrt{y+2}=10\Leftrightarrow\sqrt{y+2}=2\)với \(y\ge-2;y\in Z\)

bình phương 2 vế : \(y+2=4\Leftrightarrow y=2\)( tmđk )

Thế y = 2 vào hệ phương trình trên ta được : \(\hept{\begin{cases}\left|x-1\right|+2\sqrt{4}=5\\3\sqrt{4}-\left|x-1\right|=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|=1\Leftrightarrow x=0;x=2\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;2\right);\left(x;y\right)=\left(2;2\right)\)

đặt r có hệ

a+2b=5

3b-a=5 nên: b=2;a=1

từ đây giải ra

\(\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{2-1}}+\)\(\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{2-1}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\)\(\sqrt{\sqrt{2}-2.\sqrt{1}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{2}+2.1}+\)\(\sqrt{\sqrt{2}-2.1}\)

\(=\sqrt{\sqrt{2}+2}+\)\(\sqrt{\sqrt{2}-2}\)

\(=\sqrt[4]{2}\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}\left(-\sqrt{2}\right)\)

\(=\sqrt[4]{2}\left(\sqrt{2}+-\sqrt{2}\right)\)

\(=\sqrt[4]{2}.0\)

\(=0\)

Mk ko chắc đúng nên sai đừng chửi nhé

Dương lớp 6 chưa học thì đừng có làm

Phan Hoàng Quốc Khánh đề có sai không bạn ? \(\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{2-1}}=\sqrt{\sqrt{2}-2}\)

mà \(\sqrt{2}< 2\)nên \(\sqrt{\sqrt{2}-2}\)không tồn tại 

xem lại đề đi bạn :)