Giải:

#Học tốt!!!

a) 7 /24

b) 1, 08

c) 17/2

d) 15 /29

Ta có: \(y^2+xy+x+y+5=y^2+xy+x+y+4+1\)

\(=y^2+xy+x+y+\left(x+y\right)\left(x+1\right)+1\)

\(=\left(x+y+1\right)^2\)

\(x^3+y^3+12y+13=x^3+y^3+12\left(y+1\right)+1\)

\(=x^3+y^3+3\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)+1\)

\(=x^3+y^3+3\left(x+y\right)\left(xy+x+y+1\right)+1\)

\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1\)

\(=\left(x+y+1\right)^3\)

Khi đó phương trình thứ hai tương đương với

\(\left(x+y+1\right)^5=243\Leftrightarrow x+y+1=3\)

Từ đây kết hợp phương trình một ta được \(x=y=1\).

a, Ta có  \(\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\)

\(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\)

Do 3 > 1 nên \(\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)

a) căn 25 - 16  > căn 25 - căn 16

b)Với $a>b>0$ nên  $\sqrt{a},\sqrt{b},-$ đều xác định

Để so sánh $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ và $-$ ta quy về so sánh $\sqrt{a}$ và $-+\sqrt{b}$.

+) $(\sqrt{a}{)}^2=a$.

+) $(-+\sqrt{b}{)}^2=(-{)}^2+2-.\sqrt{b}+(\sqrt{b}{)}^2=a-b+b+2-.\sqrt{b}=a+2-$

$.\sqrt{b}$.

Do $a>b>0$ nên $2-.\sqrt{b}>0$

$\Rightarrow$ $a+2-.\sqrt{b}>a$

$\Rightarrow$ $(-+\sqrt{b}{)}^2>(\sqrt{a}{)}^2$

Do $\sqrt{a},-+\sqrt{b}>0$ 

$\Rightarrow$ $-+\sqrt{b}>\sqrt{a}$

$\iff$ $->\sqrt{a}-\sqrt{b}$ (đpcm)

Vậy $->\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

(Vì x > 0 nên |x| = x; y2 > 0 với mọi y ≠ 0)

(Vì x2 ≥ 0 với mọi x; và vì y < 0 nên |2y| = – 2y)

(Vì x < 0 nên |5x| = – 5x; y > 0 nên |y3| = y3)

(Vì x2y4 = (xy2)2 > 0 với mọi x ≠ 0, y ≠ 0)

a) 1/y 

b) - x^2 y 

c) -25x^2 / y^2

d) 4x/5y

a, \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{2}{18}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\)

b, \(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\frac{15}{735}}=\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{1}{7}\)

c, \(\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\frac{12500}{500}}=\sqrt{\frac{125}{5}}=\sqrt{25}=5\)

d, \(\frac{\sqrt{6^5}}{\sqrt{2^3.3^5}}=\sqrt{\frac{6^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{\frac{2^5.3^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{2^2}=2\)

a) căn 2 / căn 18 = 1/3

b) căn 15/ căn 735 = 1/7

c) căn 12500 / căn 500 = 5

d) căn 6^5 / 2^3 * 3^5 = 2

a, \(\sqrt{\frac{289}{25}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{25}}=\frac{17}{5}\)

b, \(\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}\)

c, \(\sqrt{\frac{0,25}{9}}=\frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)

d, \(\sqrt{\frac{8,1}{16}}\)đề có sai ko cô ? 

a) căn 289 / 225 = 17/15

b) căn 64/ 25 = 8/5

c) căn 0,25 / 9 = 1/6

d) căn 8,1 / 1,6 = 9/4

Đặt \(A=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\left(a,b,c>0\right)\).

Ta có:

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2-b^2\right)}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\).

Vì \(a,b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a^2+b^2\ge2ab\).

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{1}{2ab}\).

\(\Leftrightarrow\frac{ab^2}{a^2+b^2}\le\frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\).

\(\Rightarrow\frac{-ab^2}{a^2+b^2}\ge\frac{-b}{2}\).

\(\Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\).

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\left(1\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\).với \(b,c>0\)\(\left(2\right)\)

Dấu bẳng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)với \(a,c>0\)\(\left(3\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\)\(\ge\)\(a+b+c-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}\).

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{a+b+c}{2}\).

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{6}{2}\)(vì \(a+b+c=6\)).

\(\Leftrightarrow A\ge3\)(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\a+b+c=6\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=2\).

Vậy nếu \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=6\)thì:

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge3\).

Đặt nửa đường thẳng thuộc tiếp tuyến tại A về phía C là At

sđ\(\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\) sđ cung AC (Góc nội tiếp đường tròn)

sđ\(\widehat{tAC}=\frac{1}{2}\) sđ cung AC (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

\(\Rightarrow\widehat{tAC}=\widehat{ABC}=60^o\)