a. Xét (o) , có: 
\(AB\perp CD=\left\{O\right\}\)

=> \(\widehat{COB}=\widehat{COA=}90^o\)

Mà \(M\in CD\)

=> \(\widehat{MOB}=\widehat{MOA}=90^o\)

Ta có: \(\widehat{ANB}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB
=> \(\widehat{ANB}=90^o\)

Xét tứ giác AOMN, có:

\(\widehat{ANB+}\widehat{MOA}=90^o+90^o=180^o\)

\(\widehat{ANB}\)và \(\widehat{MOA}\)là 2 góc đối nhau

=> AOMN là tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm)

\(4x-\sqrt{8}+\frac{\sqrt{x^3+2x^2}}{\sqrt{x+2}}\)

\(=4x-\sqrt{8}+\frac{\sqrt{x^2}.\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}}=4x-\sqrt{8}+|x|\)

có còn rút gọn đc nữa không nhỉ

Thanks Nghĩa nha, làm như thế là được rồi^^

Bài này đừng làm nha, bài này mình viết sai đề nhé.

bạn lớp mấy mà giải toán lớp 9 vậy

day nhe ban

Ta có:\(\frac{1}{\left(k +1\right)\sqrt{k}}=\frac{\left(k+1\right)-k}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}\)

\(< \frac{2\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k+1}\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}}-\frac{2}{\sqrt{k+1}}\)

Cho k=1,2,,,,n rồi cộng vế với vế ta có;

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< \left(\frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)+...\)

\(+\left(\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\)

              Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bớt đăng câu linh tinh đi

Ba an hơn an 23 tuổi mà an sinh năm 2000 thì lấy 2000 -23 cho nhanh còn hỏi lằng nhà lằng nhằng ? 

Ta có: \(\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}}=\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}\)

\(\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}\left(đk:x>0\right)=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x+1}\right)^2}}=\frac{|\sqrt{x}-1|}{\sqrt{x}+1}\)

mình nghĩ cách này cũng được :

\(\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}\left(x>0\right)=\sqrt{\frac{\left(x+1-2\sqrt{x}\right)\left(x+1+2\sqrt{x}\right)}{\left(x+2\sqrt{x}+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{x^2+2x+1-4x}{\left(x+2\sqrt{x}+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(x+2\sqrt{x}+1\right)^2}}=\frac{|x-1|}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

\(=\frac{|\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)|}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}=\frac{|\sqrt{x}-1|}{\sqrt{x}+1}\)

Vì nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì hai bánh xe quay theo hai chiều khác nhau (một bánh xe quay cùng chiều quay của kim đồng hồ, bánh xe kia quay ngược chiều của kim đồng hồ). Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì hai bánh xe quay theo chiều như nhau. Do đó:

- Hình a, b hệ thống bánh răng chuyển động được.

- Hình c, hệ thống bánh răng không chuyển động được.

Vì nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì hai bánh xe quay theo hai chiều khác nhau (một bánh xe quay cùng chiều quay của kim đồng hồ,bánh xe kia quay ngược chiều kim đồng hồ).Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì hai bánh xe quay theo chiều như nhau.Do đó:

- Hình a,b hệ thống bánh răng chuyển động được.

- Hình c hệ thống bánh răng không chuyển động được.

nhớ tk mk nha

Với x,y,z > 0 có :\(Q=\frac{x+3z}{x+y}+\frac{z+3x}{y+z}+\frac{4y}{x+z}\)

\(=\frac{2z}{x+y}+\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\frac{2y}{x+z}\)

Đặt P = \(\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\frac{2y}{x+z}\)

=> P + 1 = \(\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\left(\frac{2y}{x+z}+1\right)\)

= \(\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\frac{x+z+2y}{x+z}=\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+z}+\frac{y+z}{x+z}\)

= \(\left(\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+y}{x+z}\right)+\left(\frac{x+z}{y+z}+\frac{y+z}{x+z}\right)\ge2+2=4\)

=> P \(\ge\)3 (Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z)

Đặt T = \(\frac{2z}{x+y}+\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}=2\left(\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}\right)\)

\(=2\left(\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}-3\right)\)

\(=2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-6\)

\(=\left(x+y+y+z+z+x\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-6\)

\(=1+\frac{x+y}{y+z}+\frac{x+y}{z+x}+\frac{y+z}{x+y}+1+\frac{y+z}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}+\frac{z+x}{y+z}+1-6\)

\(=\left(\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{y+x}\right)+\left(\frac{x+y}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}\right)+\left(\frac{z+x}{y+z}+\frac{y+z}{x+z}\right)-3\)

\(\ge2+2+2-3=3\)(Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z)

Mà Q = P + T \(\ge\) 3 + 3 = 6 

Dấu "=" xảy ra <=> x =y = z

Vậy Min Q = 6 <=> x = y = z 

) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:

c) ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36

=> IA = 6 (cm)

Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)

Bài làm

a) Ta thấy: BC là tiếp tuyến chung ngoài và tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O') và (O) cắt nhau tại I

=> CI = IA = IB (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét tam giác ABC có: IA = 1/2BC 

=> Tam giác ABC vuông tại A

Do đó: góc BAC = 90^o (đpcm)

b) Ta thấy: O'I là tia phân giác của CO'O (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> \(\widehat{IO'O}=\frac{1}{2}\widehat{CO'O}\Rightarrow2\widehat{IO'O}=\widehat{CO'O}\)

Ta lại thấy: OI là tia phân giác của BOO' (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> \(\widehat{IOO'}=\frac{1}{2}\widehat{BOO'}\Rightarrow2\widehat{IOO'}=\widehat{BOO'}\)

Xét tứ giác O'CBO có: 

\(\widehat{O'CB}+\widehat{CBO}+\widehat{B\text{OO}'}+\widehat{\text{OO}'C}=360^0\)(tổng 4 góc của tứ giác)

Hay \(90^0+90^0+2\widehat{IO'O}+2\widehat{IOO'}=360^0\)

=> \(2\left(\widehat{IO'O}+\widehat{IOO'}\right)=360^0-90^0-90^0=180^0\)

=> \(\widehat{IO'O}+\widehat{IOO'}=\frac{180^0}{2}=90^0\)\

Xét tam giác O'IO có:

\(\widehat{IO'O}+\widehat{IOO'}+\widehat{O'IO}=180^0\)(Tổng ba góc trong tam giác)

Hay \(90^0+\widehat{\text{OIO}'}=180^0\)

=> \(\widehat{\text{OIO}'}=180^0-90^0=90^0\)

Vậy góc OIO' = 90^o 

c) Xét tam giác O'IO vuông tại I có:

Đường cao IA

Theo hệ thức lượng trong tam giác:

Ta có: IA² = OA * O'A

hay IA² = 4 * 9

=> IA = 6 (cm)

Mà IA = IC = IB = 6 (cm)

=> IC + IB = BC

hay BC = 6 + 6 = 12 (cm)

Vậy BC = 12cm