Ta có:

sigma \(\frac{ab}{3a+4b+5c}=\) sigma \(\frac{2ab}{5\left(a+b+2c\right)+\left(a+3b\right)}\le\frac{2}{36}\left(sigma\frac{5ab}{a+b+2c}+sigma\frac{ab}{a+3b}\right)\)

Ta đi chứng minh: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{9}{4}\)

có: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(sigma\frac{ab}{c+a}+sigma\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)

BĐT trên đúng nếu: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{9}{4}\)

Ta thấy: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{1}{16}\left(sigma\frac{ab}{a}+sigma\frac{3ab}{b}\right)=\frac{1}{16}\)( sigma \(b+sigma3a\)) \(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow sigma\frac{ab}{3a+4b+5c}\le\frac{1}{18}\left(5.\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\right)=\frac{3}{4}\)(1)

MÀ: \(\frac{1}{\sqrt{ab\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}}=\frac{2}{2\sqrt{\left(ab+2bc\right)\left(ab+2ca\right)}}\ge\frac{2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=\frac{3}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{9^2}=\frac{1}{27}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow T\le\frac{3}{4}-\frac{1}{27}=\frac{77}{108}\)

Vậy GTLN của biểu thức T là 77/108 <=> a=b=c=3

để phương trình đã cho bằng  0 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b\sqrt[3]{2}\\c\sqrt[3]{4}=0\end{cases}}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\\c=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c=0\left(đpcm\right)\)

đây nhé bạn

a, Với \(x>0;x\ne1\)

 \(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\left(\frac{x-1}{2\sqrt{x}}\right)^2\left(\frac{x-2\sqrt{x}+1-x-2\sqrt{x}-1}{x-1}\right)\)

\(=\frac{x^2-2x+1}{4x}.\frac{-4\sqrt{x}}{x-1}=\frac{1-x}{\sqrt{x}}\)

Thay x = 4 => \(\sqrt{x}=2\)vào P ta được : 

\(\frac{1-4}{2}=-\frac{3}{2}\)

c, Ta có : \(P< 0\Rightarrow\frac{1-x}{\sqrt{x}}< 0\Rightarrow1-x< 0\)vì \(\sqrt{x}>0\)

\(\Rightarrow-x< -1\Leftrightarrow x>1\)

Cộng hai phương trình lại ta được: 

\(x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{2x}{y}+x+\frac{1}{y}=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(x+\frac{1}{y}\right)-6=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+\frac{1}{y}=2\\x+\frac{1}{y}=-3\end{cases}}\)

Với \(x+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow\frac{1}{y}=2-x\)ta có: 

\(2+x\left(2-x\right)=3\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Với \(x+\frac{1}{y}=-3\Leftrightarrow\frac{1}{y}=-3-x\)ta có: 

\(-3+x\left(-3-x\right)=3\left(vn\right)\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(1,1\right)\).