Viết có dấu đi bạn ơi

\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-\left(a+b+c\right)}\)( svac-xơ )

Ta có bđt phụ: \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)

\(\Rightarrow a+b+c\le3\)

\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge3\left(đpcm\right)\)

Ngược dấu rồi Châu ơi

Có \(a^2+b^2+c^2=3\) và a;b;c>0 \(\Rightarrow a^2< 3\Rightarrow a< \sqrt{3}< 2\Rightarrow2-a>0\)

Có \(\left(a-1\right)^2.a\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{2-a}\ge\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}\)

Chứng minh tương tự rồi cộng vế với vế ta có đpcm

A B C O D E F H I

a) AD là tiếp tuyến của (O) => AD vuông góc AO; \(\Delta\)ABC cân tại A có tâm ngoại tiếp O => AO vuông góc BC

Vậy AD || BC (đpcm).

b) Dễ thấy ^AEF = ^BEA; ^EAF = ^EBA => \(\Delta\)EAF ~ \(\Delta\)EBA => EA² = EF.EB (đpcm).

c) Ta có ^FDE = ^FCB (vì DA || BC) = ^DBE (vì BD là tiếp tuyến của (O)) => \(\Delta\)DEF ~ \(\Delta\)BED

=> ED² = EF.EB = EA² => E là trung điểm của AD, do đó IE là đường trung bình \(\Delta\)OAD

=> IE vuông góc AD => A,E,I,H cùng thuộc đường tròn đường kính AI (1)

Lại có E là trung điểm cạnh AD của tam giác AHD vuông tại H

=> EH² = EA² = EF.EB => \(\Delta\)EFH ~ \(\Delta\)EHB => ^EHF = ^EBH = ^EAF => A,H,E,F cùng thuộc 1 đường tròn (2)

Từ (1);(2) => F nằm trên đường tròn đường kính AI => AI vuông góc IF (đpcm).

A B C H M N

a, Vì HM là đường cao => \(HM\perp AB\)=> ^HMA = 90⁰

Vì HN là đường cao => \(HN\perp AC\)=> ^HNA = 90⁰

Xét tứ giác AMHN có : 

^HMA + ^HNA = 90⁰

mà ^HMA ; ^HNA đối nhau 

Vậy tứ giác AMHN nội tiếp

b, Xét tam giác ABH vuông tại H, đường cao HM ta có : 

\(AH^2=AM.AB\)(1)

Xét tam giác ACH vuông tại H, đường cao HN ta có : 

\(AH^2=AN.AC\)(2) 

từ (1) ; (2) suy ra : \(AM.AB=AN.AC\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét tam giác AMN và tam giác ACB ta có : 

^A chung 

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)( cmt )

Vậy tam giác AMN ~ tam giác ACB ( c.g.c )

Điều kiện: \(\orbr{\begin{cases}x\ge1\\x\le-4-\sqrt{7}\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x^2+16x+18}=a\\\sqrt{x^2-1}=b\end{cases}}\left(a,b\ge0\right)\)

Phương trình trở thành:

\(a+b=\sqrt{a^2+2b^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow b^2-2ab=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=0\\b=2a\end{cases}}\)

+) Nếu \(b=0\Rightarrow\sqrt{x^2-1}=0\Leftrightarrow x=1\)(do ĐK)

+) Nếu \(b=2a\Rightarrow\sqrt{x^2-1}=2\sqrt{2x^2+16x+18}\)

\(\Leftrightarrow x^2-1=4\left(2x^2+16x+18\right)\)

\(\Leftrightarrow7x^2+64x+73=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-32+3\sqrt{57}}{7}\left(L\right)\\x=\frac{-32-3\sqrt{57}}{7}\left(C\right)\end{cases}}\)

Vậy \(S=\left\{1;\frac{-32-3\sqrt{57}}{7}\right\}\)