\(A=\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{7+4\sqrt{3}}\)

\(A=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{4+4\sqrt{3}+3}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\)

\(A=\left|\sqrt{3}-1\right|-\left|2+\sqrt{3}\right|\)

\(A=\sqrt{3}-1-2-\sqrt{3}=-3\)

\(y=\frac{2x^2+3x+1}{x}\)

hàm số ko phải là hàm bậc nhất

\(b,y=\left(2x-3\right)\left(x-3\right)-2x^2\)

\(y=2x^2-3x-6x+9-2x^2\)

\(y=9-9x< =>\)hàm số là hàm bậc nhất

\(a=-9,b=9\)

\(c,y=-x-\frac{1}{4}\)<=> hàm số là hàm bậc nhất

\(a=-1;b=-\frac{1}{4}\)

Ta có: \(\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4y^4}{x^4+y^4}+\frac{8y^8}{x^8-y^8}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\left[\frac{4y^4}{x^4+y^4}+\frac{8y^8}{\left(x^4-y^4\right)\left(x^4+y^4\right)}\right]=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4y^4\left(x^4-y^4\right)+8y^8}{\left(x^4-y^4\right)\left(x^4+y^4\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4x^4y^4+4y^8}{\left(x^4-y^4\right)\left(x^4+y^4\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4y^4}{x^4-y^4}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\left[\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4y^4}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2\left(x^2-y^2\right)+4y^4}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{2x^2y^2+2y^4}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2-y^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y\left(x-y\right)+2y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy+y^2}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{x-y}=4\)

\(\Leftrightarrow y=4x-4y\Rightarrow4x=5y\)

=> đpcm

Bài 21:

Gọi x (sản phẩm/giờ) là năng suất dự kiến ban đầu của người đó \(\left(x\inℕ^∗\right)\)

=> x + 2 (sản phẩm/giờ) là năng suất lúc sau của người đó

Theo bài ta có phương trình sau:

\(\frac{150}{x}-\frac{1}{2}-2=\frac{150-2x}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow300\left(x+2\right)-x\left(x+2\right)-4x\left(x+2\right)=2\left(150-2x\right)x\)

\(\Leftrightarrow300x+600-x^2-2x-4x^2-8x=300x-4x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+10x-600=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-20\right)\left(x+30\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-20=0\\x+30=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=20\left(tm\right)\\x=-30\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy ban đầu năng suất người đó là 20 (sản phẩm/giờ)

Bài 22:

Gọi x (sản phẩm/giờ) là năng suất dự kiến của người đó \(\left(x\inℕ^∗;x< 20\right)\)

=> x + 1 (sản phẩm/giờ) là năng suất lúc sau của người đó 

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{80}{x+1}-\frac{1}{5}=\frac{72}{x}\)

\(\Leftrightarrow400x-x\left(x+1\right)=360\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow400x-x^2-x=360x+360\)

\(\Leftrightarrow x^2-39x+360=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-15\right)\left(x-24\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-15=0\\x-24=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=15\left(tm\right)\\x=24\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy năng suất ban đầu là 15 sp/giờ

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\x-x^2\ne0\end{cases}}\)   

\(\hept{\begin{cases}x\ge0+1\\x\cdot\left(1-x\right)\ne0\end{cases}}\)   

\(\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\ne0\left(llđ\right)\\1-x\ne0\end{cases}}\)   ( luôn luôn đúng ) 

\(\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\ne1-0\end{cases}}\)   

\(\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\ne1\end{cases}}\)   

x > 1 

Điều kiện xác định của \(\frac{\sqrt{x-1}}{x-x^2}\)là: 

\(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\x-x^2\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\ne0,x\ne1\end{cases}}\Leftrightarrow x>1\).

Gọi số sản phẩm người đó mỗi giờ phải làm theo kế hoạch là \(x\)(sản phẩm), \(x>0\).

Theo kế hoạch người đó hoàn thành công việc sau số giờ là: \(\frac{60}{x}\)(giờ) 

Đổi: \(30\)phút \(=\)\(0,5\)giờ. 

Thực tế mỗi giờ người đó sản xuất được: \(x+2\)(sản phẩm) 

Người đó hoàn thành công việc sau: \(\frac{60}{x}-0,5\)(giờ).

Ta có phương trình: 

\(\left(x+2\right)\left(\frac{60}{x}-0,5\right)=63\)

\(\Rightarrow-0,5x^2+59x+120=63x\)

\(\Leftrightarrow x^2+8x-240=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=12\left(tm\right)\\x=-20\left(l\right)\end{cases}}\)

đk: \(\hept{\begin{cases}x,y\ge0\\\sqrt{x}+\sqrt{y}\ne0\end{cases}}\)

Mà \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge0\left(\forall x,ytm\right)\)

=> x,y không cùng bằng 0

Vậy \(x,y\ge0\) và \(\orbr{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\) hoặc x,y khác 0

A B C O M N X Y P Q R S

Gọi MO,NO cắt đường thẳng BC lần lượt tại R,S.

Xét \(\Delta XAC\): M là trung điểm cạnh AC, MO || AX vì cùng vuông góc AC, suy ra MO đi qua trung điểm XC

Ta có R là trung điểm XC, MN || XC vì MN là đường trung bình \(\Delta ABC\), suy ra \(M\left(CXRN\right)=-1\)

Tương tự thì \(N\left(YBSM\right)=-1\)

Do đó \(M\left(CXRN\right)=N\left(YBSM\right)\) hay \(M\left(QPON\right)=N\left(QPOM\right)\)

Suy ra P,O,Q thẳng hàng.

- Đặt \(u=\sqrt{x}\). Khi đó :

+) \(u\ge0\)

+) \(A=\frac{1+u^2}{\left(1+u\right)^2}\)

Ta có : \(2\left(1+u^2\right)\ge\left(1+u\right)^2\Leftrightarrow2+2u^2\ge1+u^2+2u\Leftrightarrow1-2u+u^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-u\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\)

Khi u = 1 thì \(A=\frac{1}{2}\). Vậy min \(A=\frac{1}{2}\)

- Đặt v = 1+ u . Khi đó :

+) v > 1

+) \(A=\frac{1+\left(v-1\right)^2}{v^2}=\frac{v^2-2u+2}{v^2}=1-\frac{2}{v}+\frac{2}{v^2}\)

         \(=2\left[\left(\frac{1}{v}\right)^2-\left(\frac{1}{v}\right)\right]+1=2\left[\left(\frac{1}{v}\right)-\frac{1}{2}\right]^2+\frac{1}{2}\)

- Vì \(v\ge1\)\(\frac{1}{v}\le1\Rightarrow-\frac{1}{2}\le\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a\le\left|\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\right|\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}\le2\left|\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\right|^2+\frac{1}{2}\le1\Rightarrow\frac{1}{2}\le A\le1\)

Ta thấy :

+) khi v = 2 ( tức là khi x = 1 ) thì \(A=\frac{1}{2}\)

+) khi v = 1 ( tức là khi x = 0 ) thì A  = 1

Vậy maxA = 1 và min\(A=\frac{1}{2}\)

\(A=\frac{x+1}{x+1+2\sqrt{x}}=1-\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\le1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 

=> Max A = 1 <=> x = 0