Cho \(a,b,c\ge0\) . Tìm hệ số k tốt nhất thoả mãn đẳng thức sau:

\(\frac{a^3}{2a+b+c}+\frac{b^3}{2b+c+a}+\frac{c^2}{2c+b+a}+\frac{k\left(a+b+c\right)abc}{ab+bc+ca}\ge\left(\frac{1}{4}+\frac{k}{3}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
 

cho hình bình hành ABCD. Hai điểm E,F lần lượt lấy trên BC,AD sao cho BE=1/3 BC, DF=1/3DA và EF lần lượt cắt AB, CD tại G.H.Chứng minh rằng

a) GE=EF=FH

b) Tứ giác AECF là hình bình hành

c) Trên tia đối của tia AG, lấy điểm I sao cho AI=AG. Chứng minh rằng: 3 điểm C,F,I thẳng hàng

chứng minh: \(\frac{a^4}{b\left(b+c\right)}+\frac{c^4}{a\left(a+b\right)}+\frac{b^4}{c\left(c+a\right)}\ge\)\(\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

Let \(a,b,c\ge0\) such that \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ne0\) . Prove that:

\(a^3+b^3+c^3+3abc-ab\left(a+b\right)-bc\left(b+c\right)-ca\left(c+a\right)\ge abc\left(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}-3\right)\)

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một đường thẳng đi qua O và cắt cạnh AD ở P và cạnh BC ở Q.

a. Chứng minh rằng OP = OQ.

b. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy lần lượt các điểm E, F, G, H sao cho tứ giác EFGH là hình bình hành. Chứng minh bốn đoạn AC, EG, FH và BD đồng quy.

cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC),đường cao AH. Từ M bất lỳ trên đoạn HC kẻ các đường thẳng song song với AC và AB; cắt AB tại D và cắt AC tại E, AM cắt DE tại O

a) cm: AM = DE

b) cm: BH.HC= AH²

c) tính góc DHE

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR

a,  \(< -a+b+c>a^2-< -a+b+c>< b-c>^2\ge0\)

b,    \(< a+b-c>< a-b+c>< -a+b+c>\le abc\)

CHO    \(a^3-3ab^2=2;b^3-3a^2b=-11\)

Tính    \(a^2+b^2\)

tìm dư của phép chia x⁴ chia cho x² + 1