a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C có CM là đường cao

nên \(CB^2=BM\cdot BA\)

=>\(CB=\sqrt{1\cdot6}=\sqrt{6}\left(cm\right)\)

b: ΔOAC cân tại O

mà OE là đường cao

nên OE là phân giác của \(\widehat{AOC}\)

Xét ΔOAE và ΔOCE có

OA=OC

\(\widehat{AOE}=\widehat{COE}\)

OE chung

Do đó: ΔOAE=ΔOCE

=>\(\widehat{OCE}=\widehat{OAE}=90^0\)

=>EC là tiếp tuyến của (O)

a: Khi x=3 thì \(A=\dfrac{5+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\left(5+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\)

\(=\dfrac{5\sqrt{3}-5+3-\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}-2}{2}=2\sqrt{3}-1\)

b: \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\dfrac{5}{\sqrt{x}+5}-\dfrac{10\sqrt{x}}{x-25}\)

\(=\dfrac{x+5\sqrt{x}-5\sqrt{x}+25-10\sqrt{x}}{x-25}\)

\(=\dfrac{x-10\sqrt{x}+25}{x-25}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-5\right)^2}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}\)

c: B<0

=>\(\sqrt{x}-5< 0\)

=>\(\sqrt{x}< 5\)

=>0<=x<25

mà x là số nguyên lớn nhất

nên x=24

d: \(P=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+1-6}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{6}{\sqrt{x}+1}\)

\(\sqrt{x}+1>=1\)

=>\(\dfrac{6}{\sqrt{x}+1}< =6\)

=>\(-\dfrac{6}{\sqrt{x}+1}>=-6\)

=>P>=-6+1=-5

Dấu = xảy ra khi x=0

Lời giải:

a. ĐKXĐ: $x\geq 0; x\neq 4$
Khi $x=9$ thì:

$A=\frac{\sqrt{9}+3}{9-4}=\frac{3+3}{5}=\frac{6}{5}$

b. Mình không thấy biểu thức B hiển thị. Bạn xem có ghi lỗi không nhỉ?

Ta có:

f(5) = 5a + b

f(4) = 4a + b

⇒ f(5) - f(4) = 5a + b - (4a + b)

= 5a + b - 4a - b

= a > 0

Vậy f(5) > f(4)

a) Ta có:

\(x=\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}\)

\(x=\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2+2\cdot2\cdot\sqrt{5}+2^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot1+1^2}\)

\(x=\sqrt{\left(\sqrt{5}+2\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}\)

\(x=\left|\sqrt{5}+2\right|-\left|\sqrt{5}+1\right|\)

\(x=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}-1\)

\(x=1\)

Thay x=1 vào A ta có:

\(A=\dfrac{\sqrt{1}-1}{\sqrt{1}+2}=\dfrac{1-1}{1+2}=\dfrac{0}{3}=0\)

b) \(A>\dfrac{1}{2}\) khi:

\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}>\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{1}{2}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-2}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-4}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}>0\)

Mà: \(2\left(\sqrt{x}+2\right)>0\forall x\) 

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-4>0\)

\(\Leftrightarrow x>16\)

Vậy: .... 

\(\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}\\ =\sqrt{5+4\sqrt{5}+4}-\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}\\ =\sqrt{\left(\sqrt{5}+2\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}\\ =\left|\sqrt{5}+2\right|-\left|\sqrt{5}+1\right|\\ =\sqrt{5}+2-\sqrt{5}-1\\ =1\)

`=> x=1`

Thay `x=1` vào `A` ta có :

\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\\ =\dfrac{1-1}{1+2}\\ =\dfrac{0}{3}=0\)

__

Để `A>1/2`

Thì : \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}>\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}>\dfrac{\sqrt{x}+2}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x}-2>\sqrt{x}+2\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}>4\\ \Leftrightarrow x>16\)

4.2:

a: ΔADB vuông tại D có DE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AD^2\left(1\right)\)

ΔADC vuông tại D có DF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AD^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF và ΔACB có

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔACB

b: AB=AE+EB

=16+9

=25(cm)

Xét ΔADB vuông tại D có DE là đường cao

nên \(AD^2=AE\cdot AB\)

=>\(AD=\sqrt{16\cdot25}=20\left(cm\right)\)

Xét ΔADB vuông tại D có \(tanABD=\dfrac{AD}{DB}\)

\(=\dfrac{20}{15}=\dfrac{4}{3}\)

=>\(\tan AFE=\tan ABD=\dfrac{4}{3}\)

c: \(AE\cdot cosACB+AF\cdot cosABC\)

\(=AE\cdot cosAEF+AF\cdot cosAFE\)

\(=AE\cdot\dfrac{EA^2+EF^2-AF^2}{2\cdot EA\cdot EF}+AF\cdot\dfrac{FA^2+FE^2-AE^2}{2\cdot FA\cdot FE}\)

\(=\dfrac{EA^2+EF^2-AF^2}{2\cdot EF}+\dfrac{FA^2+FE^2-AE^2}{2\cdot FE}\)

\(=\dfrac{2FE^2}{2FE}=FE\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x\sqrt{2020-y^2}+y\sqrt{2020-z^2}+z\sqrt{2020-x^2}\leq \frac{x^2+(2020-y^2)}{2}+\frac{y^2+(2020-z^2)}{2}+\frac{z^2+(2020-x^2)}{2}=3030\)Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left\{\begin{matrix} x^2=2020-y^2\\ y^2=2020-z^2\\ z^2=2020-x^2\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z=\sqrt{1010}\)

Khi đó:

$A=3(\sqrt{1010})^2=3030$

Bài 9:

a) \(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\) (ĐK: \(x\ne1;x\ne4;x>0\))

\(P=\left[\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}-\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]:\left[\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\right]\)

\(P=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{a-1-a+4}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\)

\(P=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\)

\(P=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{3}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\) 

b) \(P>\dfrac{1}{6}\) khi 

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}>\dfrac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}-\dfrac{1}{6}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(\sqrt{a}-2\right)-\sqrt{a}}{2\cdot3\sqrt{a}}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{a}-4-\sqrt{a}}{6\sqrt{a}}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a}-4}{6\sqrt{a}}>0\) 

Mà: \(6\sqrt{a}>0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}-4>0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}>4\) 

\(\Leftrightarrow a>16\)

Vậy: ... 

20:

a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x< >1\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{x+2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{1-\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\cdot2\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\cdot\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}=\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)

b: \(x+\sqrt{x}+1=\left(\sqrt{x}+1\right)\cdot\sqrt{x}+1>=1>0\)

2>0

Do đó: \(P=\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}>0\)

8:

a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a< >1\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}\right)^2\cdot\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2-\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)\)

\(=\dfrac{\left(a-1\right)^2}{4a}\cdot\dfrac{a-2\sqrt{a}+1-a-2\sqrt{a}-1}{a-1}\)

\(=\dfrac{a-1}{4a}\cdot\left(-4\sqrt{a}\right)=-\dfrac{a-1}{\sqrt{a}}\)

b: P<0

=>\(-\left(a-1\right)< 0\)

=>a-1>0

=>a>1

c: P=-2

=>\(\dfrac{a-1}{\sqrt{a}}=2\)

=>\(a-1=2\sqrt{a}\)

=>\(a-2\sqrt{a}-1=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{a}=1+\sqrt{2}\left(nhận\right)\\\sqrt{a}=1-\sqrt{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=3+2\sqrt{2}\)

a) ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao

⇒ AH² = BH.HC = 4.9 = 36

⇒ AH = 6 (cm)

Tứ giác ADHE có:

∠AEH = ∠EAD = ∠ADH = 90⁰ (gt)

⇒ ADHE là hình chữ nhật

⇒ DE = AH = 6 (cm)

b) ∆ADH vuông tại D

⇒ D nằm trên đường tròn đường kính AH (1)

∆AEH vuông tại E

⇒ E nằm trên đường tròn đường kính AH (2)

Từ (1) và (2) ⇒ A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AH

c) Do AK là phân giác của BAH (gt)

⇒ ∠BAK = ∠HAK

Ta có:

∠CAK + ∠BAK = 90⁰

⇒ ∠CAK + ∠HAK = 90⁰

Mà ∠HAK + ∠HKA = 90⁰

⇒ ∠CAK = ∠HKA

⇒ ∠CAK = ∠CKA

∆ACK có:

∠CAK = ∠CKA (cmt)

⇒ ∆CAK cân tại C

Mà I là trung điểm của AK

⇒ CI là đường trung tuyến của ∆CAK

⇒ CI cũng là đường cao của ∆CAK

⇒ CI ⊥ AK