Cho đoạn thẳng AD và trung điểm H của nó. Dựng tam giác ABC nhận AD là đường cao, H là trực tâm sao cho BC có độ dài nhỏ nhất.

A B D C H E

Vì \(\Delta BDH~\Delta ADC\) nên \(DB.DC=DH.DA=\frac{1}{2}AD^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}AD\right)^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(BC=DB+DC\ge2\sqrt{DB.DC}=AD\sqrt{2}\)(không đổi)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(DB=DC\).

Cách dựng tam giác ABC thỏa mãn ycbt với thước và compass:

B1: Vẽ đường tròn đường kính AD, lấy E trên (AD) sao cho \(HE\perp AD\)

B2: Vẽ đường tròn \(\left(D;DE\right)\) và đường kính BC của nó sao cho \(BC\perp AD\)

Với \(x>0;x\ne1\)

\(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{1+\sqrt{x}}\right)\left(\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\left(\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)=\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=1\)

\(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{1+\sqrt{x}}\right)\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)

\(P=\frac{1+\sqrt{x}-2\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)

\(P=\frac{1-\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{1-\sqrt{x}}\)

\(P=1\)

Giải phương trình:

2x - 5 căn x + 3 = 0

x=1, x=9/4

nha bạn chúc bạn học tốt 

\(2x-5\sqrt{x}+3=0\)

Đặt \(\sqrt{x}=t\left(t\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow2t^2-5t+3=0\)

\(\Delta=25-4.3.2=25-24=1>0\)

pt có 2 nghiệm phân biệt 

\(t_1=\frac{5-1}{4}=1;t_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}\)

Theo cách đặt : \(\Rightarrow x_1=1;x_2=\frac{9}{4}\)

Nhầm nha mn 

\(\frac{\left(\sqrt{5}+2\right)^2-8\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)

\(\frac{\left(\sqrt{5}+2\right)^2-8\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)

\(=\frac{5+4+4\sqrt{5}-8\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)

\(=\frac{9-4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)

\(=\frac{\sqrt{5}^2-4\sqrt{5}+2^2}{2\sqrt{5}-4}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}{2\left(\sqrt{5}-2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{5}-2}{2}\)

Với \(x\ge\)0

\(\left(\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)=\left(\sqrt{x}+1\right)^2\)

ta có :

\(A=\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\ge2-1=1\)

Vì A>1 nên \(A>\sqrt{A}\)

ta có :

\(P=\sqrt{\sqrt[3]{x^4}\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\right)}+\sqrt{\sqrt[3]{y^4}\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\right)}\)\(\)

\(=\sqrt[3]{x^2}.\sqrt{\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\right)}+\sqrt[3]{y^2}.\sqrt{\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\right)}=\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\right).\sqrt{\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\right)}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\right)^3}\Leftrightarrow\sqrt[3]{P^2}=\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\right)\)

Vậy ta có đpcm

\(\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{6}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}{2+3-5+2\sqrt{6}}\)

\(=\frac{2\sqrt{6}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\)

Điều kiên \(0\le x\le1\)

\(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=2\)

ta có :\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)^2=1+2\sqrt{x}.\sqrt{1-x}\ge1\)

và \(\sqrt{x+1}\ge1\) với \(x\ge0\)Vậy

\(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\ge2\)

dấu bằng xảy ra khi x=0 

vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình