Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq \frac{3}{2}$
BPT $\Leftrightarrow x+7\geq 2x+1+4\sqrt{2x-3}$

$\Leftrightarrow 6-x\geq 4\sqrt{2x-3}$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6-x\geq 0\\ (6-x)^2\geq 16(2x-3)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 6\\ x^2-44x+84\geq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 6\\ (x-42)(x-2)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\leq 2\)

Kết hợp đkxđ suy ra $\frac{3}{2}\leq x\leq 2$

Không hiểu sao làm xong rồi nhưng không hiện lời giải đầy đủ nên mình chụp lại.

Bài làm

Ta có: \(\left|\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}\right|< 3\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}< 3\\\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}>-3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}-3< 0\\\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}+3>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}-\frac{3x^2+3x+3}{x^2+x+1}< 0\\\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}+\frac{3x^2+3x+3}{x^2+x+1}>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{-2x^2-6x-4}{x^2+x+1}< 0\\\frac{4x^2+2}{x^2+x+1}>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{-2\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}< 0\\\frac{2\left(2x^2+1\right)}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\in\left(-\infty;1\right)U\left(2;+\infty\right)\\x\in\left(-\infty;+\infty\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left(-\infty;1\right)U\left(2;+\infty\right)\)

Gọi H là giao điểm của BM và CN. Ta có:

Diện tích tam giác ABC = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 8 cm * 12 cm = 48 cm^2

Theo định lí Menelaus, ta có: 

(BH/HA) * (AN/NC) * (CM/MB) = 1

Thay giá trị vào ta được: 

(BH/HA) * (4/8) * (5/7) = 1

Suy ra: BH/HA = 14/15

Do đó, AH = AB - BH = 8 cm - (14/15)*8 cm = 8/15 cm

Tương tự, ta có: CH = 12/15 cm

Áp dụng công thức diện tích tam giác bằng nửa tích chất của đường cao, ta có:

Diện tích tam giác AMN = 1/2 * AM * NH = 1/2 * (AB - BM) * AH = 1/2 * (8 cm - 5 cm) * 8/15 cm = 8/15 cm^2

Vậy diện tích hình tam giác AMN là 8/15 cm^2.

ĐK: \(x\ne3,x\ne-5\).

\(\frac{3-3x}{-x^2-2x+15}-1>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3-3x-\left(-x^2-2x+15\right)}{-x^2-2x+15}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-x-12}{-x^2-2x+15}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-12\right)\left(-x^2-2x+15\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+3\right)\left(3-x\right)\left(x+5\right)>0\)

Từ đây ta xét bảng xét dấu, thu được nghiệm là: 

\(-5< x< -3,3< x< 4\).

\(\Delta//d\)nên phương trình\(\Delta\)có dạng: \(2x+y+c=0\)với \(c\ne-3\).

\(\Delta\)đi qua \(D\left(0,-1\right)\)nên: \(2.0+\left(-1\right)+c=0\Leftrightarrow c=1\)(thỏa mãn) 

Vậy phương trình \(\Delta:2x+y+1=0\).

dễ thì mới dễ xuyên qua chứ

Người ta sử dụng BĐT Cô-si cho mẫu số:

\(cos^2a+2sin^2a\ge2\sqrt{cos^2a.2sin^2a}=2\sqrt{2}\left|sina.cosa\right|\ge2\sqrt{2}sina.cosa\)

Nhưng trong trường hợp bài này chỉ áp dụng được khi \(sina.cosa>0\)