ta có y nguyên không âm nên ta có : 

\(x+\sqrt{y}=y^2\Leftrightarrow x=y^2-\sqrt{y}\)

vì vậy với mọi số y là số chính phương thì x luôn là số nguyên

vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên có dạng : 

\(\hept{\begin{cases}y\text{ chính phương }\\x=y^2-\sqrt{y}\end{cases}}\)

luôn tồn tại 1 trong 3 số bằng 1

thật vậy, giả sử không có số nào bằng 1

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}\le\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}\le\frac{1}{2}\\\frac{1}{z}\le\frac{1}{2}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{3}{2}< 2\) mâu thuẫn với giả thiết

vậy phải có 1 số bằng 1

không mất tổng quát ta giả sử z = 1

nen ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\Leftrightarrow x=\frac{y}{y-1}=1+\frac{1}{y-1}\)

do x nguyên nên y-1 =1 hay y =2 \(\Rightarrow x=2\)

vậy phương trình có nghiệm là ( 2,2,1) và các cặp giao hoán của nó ( là ( 1,2,2) và (2,1,2) ) 

ta có : 

\(P=\frac{n^3-n^2+2n+7}{n^2+1}=n-1+\frac{n+8}{n^2+1}\) nguyên khi \(\frac{n+8}{n^2+1}\) nguyên.

đặt \(\frac{n+8}{n^2+1}=k\in Z\Rightarrow n^2.k-n+k-8=0\) 

ta có \(\Delta=1-4k\left(k-8\right)=-4k^2+32k-1\ge0\Leftrightarrow k\in\left\{1,..,7\right\}\)

mà n nguyên nên ta có : \(k-8\text{ chia hết cho k\Rightarrow}k\in\left\{1,2,4,8\right\}\)

với k =1 ta tìm được n không nguyên.

với k =2 ta tìm được n =2 thỏa mãn

với k =4 ta tìm  được n không nguyên.

vậy n=2 là nghiệm duy nhất 

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

a/ C/m tam giác MBA=tam giác MCE (g-c-g)

=> AB = CE

Mà AB//CE(gt)

=>ABEC là hình bình hành

b/ Ta có DF//AC

Mà AC//BE

=>CF//BE

C/m tam giác DCF = tam giác ECB (g-c-g )

=>DF=BE

=>EBDF là hình bình hành

Đáp án:

 a.3x³−5x²+7xa.3x³−5x²+7x

b.−4x²y−10x²y+2xyb.−4x²y−10x²y+2xy

c.−x³+2x²+29x+20c.−x³+2x²+29x+20

d.2x⁴−3x³+2x²+3x−4d.2x⁴−3x³+2x²+3x−4

e.x²−4y²e.x²−4y²

h.2x²−6x+13h.2x²−6x+13

g.3xy⁴−12y²+2x²yg.3xy⁴−12y²+2x²y 

f.−2x²y³+y−3f.−2x²y³+y−3

Giải thích các bước giải:

 a.3x.(x²−5x+7)a.3x.(x²−5x+7)

=3x³−5x²+7x=3x³−5x²+7x

b.−2xy.(2x³+5x−1)b.−2xy.(2x³+5x−1)

=−4x⁴y−10xy²+2xy=−4x⁴y−10xy²+2xy

c.(x+4).(−x²+6x+5)c.(x+4).(−x²+6x+5)

=−x³+6x²+5x−4x²+24x+20=−x³+6x²+5x−4x²+24x+20

=−x³+2x²+29x+20=−x³+2x²+29x+20

d.(x²−1).(2x²−3x+4)d.(x²−1).(2x²−3x+4)

=2x⁴−3x³+4x²−2x²+3x−4=2x⁴−3x³+4x²−2x²+3x−4

=2x⁴−3x³+2x2+3x−4=2x⁴−3x³+2x2+3x−4

e.(x+2y).(x−2y)e.(x+2y).(x−2y)

=x²−(2y)²=x²−(2y)²

=x²−4y²=x²−4y²

h.(3x−1)²−7(x²+2)h.(3x−1)²−7(x²+2)

=9x²−6x+1−7x²−14=9x²−6x+1−7x²−14

=2x²−6x+13=2x²−6x+13

g.(6x²g.(6x²y⁵−xy³+4x³y²):2xy−xy³+4x³y²):2xy

=3xy⁴−12y²+2x²y=3xy⁴−12y²+2x²y 

f.(−12x³y⁴+6xy²−18xy):6xyf.(−12x³y⁴+6xy²−18xy):6xy

=−2x³y³+y−3