\(P=\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{4\sqrt{a}-1}{a}\right)\) ?

Bài 14:

Gọi giao điểm của CB với AM là K

Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

Do đó: MA=MC

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB tại C

=>AC\(\perp\)BK tại C

=>ΔACK vuông tại C

\(\widehat{MAC}+\widehat{MKC}=90^0\)(ΔACK vuông tại C)

\(\widehat{MCA}+\widehat{MCK}=\widehat{ACK}=90^0\)

mà \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

nên \(\widehat{MKC}=\widehat{MCK}\)

=>MK=MC

mà MC=MA

nên MA=MK(1)

CH\(\perp\)AB

AK\(\perp\)AB

Do đó: CH//AK

Xét ΔBMA có IH//AM

nên \(\dfrac{IH}{AM}=\dfrac{BI}{BM}\left(2\right)\)

Xét ΔBKM có CI//KM

nên \(\dfrac{CI}{KM}=\dfrac{BI}{BM}\)(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra CI=IH

=>I là trung điểm của CH

Điều kiện về $x,y$ cũng như yêu cầu đề là gì bạn nên ghi chú rõ ra thì mọi người sẽ hỗ trợ bạn được tốt hơn nhé.

Bài 1:

a: Để hàm số y=(1-m)x+m+2 đồng biến trên R thì 1-m>0

=>-m>-1

=>m<1

b: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(1-m\right)x+m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(1-m\right)x=-m-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{m-1}\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{m+2}{m-1}\right|\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\left(1-m\right)x+m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\left(1-m\right)\cdot0+m+2=m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(OB=\left|m+2\right|\)

Để ΔOAB cân tại O thì OA=OB

=>\(\dfrac{\left|m+2\right|}{\left|m-1\right|}=\left|m+2\right|\)

=>\(\left|m+2\right|\left(\dfrac{1}{\left|m-1\right|}-1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+2=0\\\dfrac{1}{\left|m-1\right|}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m-1=1\\m-1=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\left\{0;2;-2\right\}\)

a: Khi x=25 thì \(A=\dfrac{5+1}{5-2}=\dfrac{6}{3}=2\)

b: \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+4}{x-\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)-\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1-x-\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{-3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=-\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}\)

c: P=B:A

\(=\dfrac{-3}{\sqrt{x}-2}:\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}=-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)

P<-1

=>P+1<0

=>\(\dfrac{-3+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}< 0\)

=>\(\sqrt{x}-2< 0\)

=>\(\sqrt{x}< 2\)

=>0<=x<4

mà x nguyên

nên \(x\in\left\{0;1;2;3\right\}\)

\(a,b,c,d>0;a+b+c+d=8\)

\(\sum\dfrac{a^3}{a^2+b+c}=\sum\left[a-\dfrac{a\left(b+c\right)}{a^2+b+c}\right]\ge\sum\left[a-\dfrac{a\left(b+c\right)}{2a\sqrt{b+c}}\right]=\sum\left(a-\dfrac{\sqrt{b+c}}{2}\right)\)

\(=\sum\left(a-\dfrac{\sqrt{\left(b+c\right).4}}{4}\right)\ge\sum\left(a-\dfrac{b+c+4}{8}\right)=\left(a+b+c+d\right)-\dfrac{2\left(a+b+c+d\right)+4.4}{8}=8-\dfrac{2.8+16}{8}=4\left(dpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=2\)

Note: 2 bài anh đã làm cho em, anh dùng phương pháp Cauchy ngược dấu để làm nhé.

a: ABCD là hình chữ nhật

=>\(BD^2=BA^2+BC^2\)

=>\(BD^2=5^2+12^2=169\)

=>BD=13(cm)

b: Xét ΔADB vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BD=AB\cdot AD\)

=>\(AH\cdot13=5\cdot12=60\)

=>\(AH=\dfrac{60}{13}\left(cm\right)\)

c: \(\widehat{HDK}+\widehat{HBC}=90^0\)(ΔBDC vuông tại C)

\(\widehat{HIB}+\widehat{HBI}=90^0\)(ΔHBI vuông tại H)

mà \(\widehat{HBC}=\widehat{HBI}\left(I\in BC\right)\)

nên \(\widehat{HDK}=\widehat{HIB}\)

Xét ΔHDK vuông tại H và ΔHIB vuông tại H có

\(\widehat{HDK}=\widehat{HIB}\)

Do đó: ΔHDK đồng dạng với ΔHIB

=>\(\dfrac{HD}{HI}=\dfrac{HK}{HB}\)

=>\(HD\cdot HB=HK\cdot HI\)(1)

Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HD\cdot HB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH^2=HK\cdot HI\)

\(a,b,c>0;a+b+c=6\)

\(\sum\dfrac{a}{2b^3+8}=\dfrac{1}{8}.\sum\dfrac{8a}{2b^3+8}=\dfrac{1}{8}\sum\left(a-\dfrac{2ab^3}{b^3+b^3+8}\right)\)

\(\ge\dfrac{1}{8}\sum\left(a-\dfrac{2ab^3}{6b^2}\right)=\dfrac{1}{8}\sum a-\dfrac{1}{24}\sum ab=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sum ab}{24}\)

\(\ge\dfrac{3}{4}-\dfrac{\dfrac{\left(\sum a\right)^2}{3}}{24}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\dfrac{6^2}{3}}{24}=\dfrac{1}{4}\) (dpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Theo BĐT cô-si ta có:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=\left(\dfrac{4}{2}\right)^2=4\)

\(a^3+b^3\ge2\sqrt{a^3b^3}=2\sqrt{4^3}=16\)

\(a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2\sqrt{4^4}=32\)

Ta có:

\(\dfrac{a}{8+2b^3}+\dfrac{b}{8+2a^3}\)

\(=\dfrac{a\left(8+2a^3\right)}{\left(8+2b^3\right)\left(8+2a^3\right)}+\dfrac{b\left(8+2b^3\right)}{\left(8+2b^3\right)\left(8+2a^3\right)}\)

\(=\dfrac{8a+2a^4+8b+2b^4}{\left(8+2b^3\right)\left(8+2a^3\right)}\)

\(=\dfrac{8\left(a+b\right)+2\left(a^4+b^4\right)}{64+16a^3+16b^3+4a^3b^3}\)

\(=\dfrac{8\left(a+b\right)+2\left(a^4+b^4\right)}{64+16\left(a^3+b^3\right)+4\cdot\left(ab\right)^3}\ge\dfrac{8\cdot4+2\cdot32}{64+16\cdot16+4\cdot4^3}=\dfrac{96}{576}=\dfrac{1}{6}\left(dpcm\right)\)  

Ta có:

\(\dfrac{a}{8+2b^3}=\dfrac{4-b}{8+2b^3}\)

Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{4-b}{8+2b^3}\ge-\dfrac{1}{8}b+\dfrac{1}{3}\left(\text{*}\right)\) với mọi \(b>0\)

Thật vậy, BĐT \(\left(\text{*}\right)\) tương đương với:

\(\dfrac{4-b}{4+b^3}+\dfrac{b-2}{4}\ge\dfrac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b^4-2b^3+8}{4\left(4+b^3\right)}\ge\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow b^4-2b^3+8\ge\dfrac{2}{3}\left(4+b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow3b^4-8b^3+16\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2\left(3b^2+4b+4\right)\ge0\), đúng với mọi \(b>0\)

Áp dụng BĐT \(\left(\text{*}\right)\), ta có:

\(\dfrac{a}{8+2b^3}+\dfrac{b}{8+2a^3}\ge\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)=\dfrac{1}{6}\), đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)

Gọi số xe loại 25 chỗ ngồi mà trường thuê là \(x\left(x\in N,12>x>0\right)\)

Số xe loại 45 chỗ ngồi mà trường thuê là \(y\left(y\in N,12>y>0\right)\)

Ta có: \(x+y=12\left(1\right)\) 

Do chỉ có hai xe vừa đủ chỗ ngồi các xe còn lại đều thừa 1 chỗ

Số xe bị thừa chỗ là:

\(12-2=10\) (xe) ⇒ dư 10 chỗ 

Vậy tổng số chỗ ngồi 12 xe này là: `450 + 10 = 460` (chỗ) 

⇒ \(25x+45y=460\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\25x+45y=460\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}25x+25y=300\\25x+45y=460\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}20y=160\\x+y=12\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8\left(tm\right)\\x=12-8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8\left(tm\right)\\x=4\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy số xe 25 chỗ trường thuê là 4 xe, số xe 45 chỗ mà trường thuê là 8 xe 

Anh xem lại bài ạ!

Vì: \(\left\{{}\begin{matrix}25x+25y=300\\25x+45y=460\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}20y=160\\x+y=12\end{matrix}\right.\) chứ đâu phải \(20x=160\) ạ!

Anh kiểm tra lại nhé!