Xét ΔABC có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

=>\(\widehat{A}=180^0-42^0-56^0=82^0\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{AB}{sinC}\)

=>\(\dfrac{21}{sin56}=\dfrac{BC}{sin82}=\dfrac{AC}{sin42}\)

=>\(BC\simeq25,08\left(cm\right);AC\simeq16,95\left(cm\right)\)

\(\widehat{A}=180^o-42^o-56^o=82^o\)

Ta có:

\(\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{BC}{sinA}\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=\dfrac{21.sin42}{sin56}\simeq16,95cm\\BC=\dfrac{21.sin82}{sin56}\simeq25,1cm\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(sinB=sin56\simeq0,83\)

\(cosB=cos56\simeq0,56\)

\(tanB=tan56\simeq1,48\)

\(cotB=cot56\simeq0,67\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(cosC=sinB\simeq0,83\)

\(sinC=cosB\simeq-0,56\)

\(cotC=tanB=tan56\simeq1,48\)

\(tanC=cotB\simeq0,67\)

\(\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2}}=1\)

=>\(\sqrt{\dfrac{x-1}{2}}=1\)

=>x-1=2

=>x=3

\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=3x_1-3x_2=3\left(x_1-x_2\right)< 0\)

=>\(f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\)

=>Hàm số đồng biến trên R

bạn có thể làm chi tiết ko?

\(A=\dfrac{sin^22^0+sin^24^0+...+sin^288^0}{2\cdot tan15\cdot tan25\cdot...\cdot tan75}\)

\(=\dfrac{\left(sin^22^0+sin^288^0\right)+\left(sin^24^0+sin^286^0\right)+...+\left(sin^244^0+sin^246^0\right)}{2\cdot\left(tan15\cdot tan75\right)\cdot\left(tan25\cdot tan65\right)\left(tan35\cdot tan55\right)\cdot tan45}\)

\(=\dfrac{1+1+...+1}{2}\)

\(=\dfrac{22}{2}=11\)

Từ 4 đến 86 sẽ có \(\dfrac{86-4}{2}+1=42\)(số chẵn)

=>Sẽ có 42/2=21 cặp

\(cos^24^0+cos^26^0+...+cos^286^0\)

\(=\left(cos^24^0+cos^286^0\right)+\left(cos^26^0+cos^284^0\right)+...+\left(cos^244^0+cos^246^0\right)\)

\(=1+1+...+1\)

=21

Câu 5:

\(A=\dfrac{2}{x}+\dfrac{6}{y}+\dfrac{9}{3x+y}\)

\(=\dfrac{2\left(3x+y\right)}{xy}+\dfrac{9}{3x+y}\)

\(=\dfrac{3x+y}{6}+\dfrac{9}{3x+y}\left(xy=12\right)\)

\(=\dfrac{3x+y}{16}+\dfrac{9}{3x+y}+\dfrac{5\left(3x+y\right)}{48}\)

\(\ge2\sqrt{\dfrac{3x+y}{16}.\dfrac{9}{3x+y}}+\dfrac{5.2\sqrt{3x.y}}{48}\)

\(=2\sqrt{\dfrac{9}{16}}+\dfrac{10\sqrt{3.12}}{48}=\dfrac{11}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}\right.\)

3:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2-y^2=1\\xy+x^2=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2-y^2=1\left(2\right)\\x^2=2-xy\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(2x^2-y^2=1\)

=>\(2\left(2-xy\right)-y^2=1\)

=>\(4-2xy-y^2=1\)

=>\(2xy+y^2=3\)

=>y*(2x+y)=3

=>\(\left(2x+y;y\right)\in\left\{\left(1;3\right);\left(3;1\right);\left(-1;-3\right);\left(-3;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(2x;y\right)\in\left\{\left(-2;3\right);\left(2;1\right);\left(2;-3\right);\left(-2;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-1;3\right);\left(1;1\right);\left(1;-3\right);\left(-1;-1\right)\right\}\)

(1): \(x^2=2-xy\)

Khi x=-1 và y=3 thì \(1^2=2-\left(-1\right)\cdot3\)

=>1=2+3=5

=>Loại

Khi x=1 và y=1 thì \(1^2=2-1\cdot1\)

=>1=2-1(đúng)

=>Nhận

Khi x=1 và y=-3 thì \(1^2=2-1\cdot\left(-3\right)\)

=>1=2+3

=>5=1(loại)

Khi x=-1 và y=-1 thì \(\left(-1\right)^2=2-\left(-1\right)\left(-1\right)\)

=>1=2-1

=>Đúng

Vậy: \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1;1\right);\left(-1;-1\right)\right\}\)

Ta có: \(\sqrt{P}< \dfrac{1}{2}\Rightarrow P< \left(\dfrac{1}{2}\right)^2\Leftrightarrow P< \dfrac{1}{4}\) (1) 

Với đk: \(P\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2\ge0\) (vì \(\sqrt{x}+1>0\forall x\ge0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x\ge4\) 

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< \dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{4}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\sqrt{x}-8}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\sqrt{x}-8-\sqrt{x}-1}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\sqrt{x}-9}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}-9< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 3\)

\(\Leftrightarrow x< 9\)

Kết hợp với đk: \(4\le x< 9\)

sai dấu r bn ơi \(\sqrt{x}+1\\ \) mà bn bn nhìn lại đi

d) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau trong đường tròn (O) và 2 tiếp tuyến tại M và N, ta có AO là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\) (1)

 Lại có \(\widehat{AME}=\widehat{MNE}\) (do chúng là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung đó)

 Hơn nữa, vì AO là trung trực của đoạn MN nên E thuộc trung trực của MN \(\Rightarrow EM=EN\) \(\Rightarrow\Delta EMN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{ENM}=\widehat{EMN}\)

 Từ đó suy ra \(\widehat{AME}=\widehat{EMN}\) hay ME là tia phân giác của \(\widehat{AMN}\). (2)

 Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) đpcm.

e) Gọi C là giao điểm của PO và (AMN). Khi đó ta có  \(PB^2=PN.PM=PC.PO\) nên \(\Delta PBC~\Delta POB\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{PCB}=\widehat{PBO}=90^o\) \(\Rightarrow PC\perp BC\)

Mặt khác, do đường tròn (AMN) có đường kính là AO nên \(\widehat{ACO}=90^o\Rightarrow AC\perp PC\)

 Từ đó suy ra A, B, C thẳng hàng. Do đó \(\widehat{ABM}=\widehat{BPO}\) (vì cùng phụ với \(\widehat{POB}\))