a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó; ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB tại C

=>BC\(\perp\)AE tại C

Xét ΔBAE vuông tại B có BC làđường cao

nên \(BC^2=AC\cdot CE\)

b: Xét ΔABC vuông tại C có

\(sinCAB=\dfrac{CB}{AB}\)

=>\(\dfrac{CB}{10}=sin30=\dfrac{1}{2}\)

=>CB=5(cm)

Xét ΔEBA vuông tại B có BC là đường cao

nên \(\dfrac{1}{CB^2}=\dfrac{1}{BA^2}+\dfrac{1}{BE^2}\)

=>\(\dfrac{1}{BE^2}+\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{5^2}\)

=>\(\dfrac{1}{BE^2}=\dfrac{1}{25}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{3}{100}\)

=>\(BE^2=\dfrac{100}{3}\)

=>\(BE=\dfrac{10}{\sqrt{3}}\left(cm\right)\)

Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOD}+\widehat{MOC}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{DOC}=180^0\)

=>\(\widehat{DOC}=90^0\)

=>ΔDOC vuông tại O

Gọi N là trung điểm của CD

ΔOCD vuông tại O

=>ΔOCD nội tiếp đường tròn đường kính CD

mà N là trung điểm của CD

nên ΔOCD nội tiếp (N)

Xét hình thang ACDB có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ACDB

=>ON//AC//BD

=>ON\(\perp\)AB tại O

Xét (N) có

NO là bán kính

AB\(\perp\)NO tại O

Do đó:AB là tiếp tuyến của (N)

=>Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB

\(M=\dfrac{4+\sqrt{7}}{\sqrt{14}+\sqrt{4+\sqrt{7}}}-\dfrac{4-\sqrt{7}}{\sqrt{14}+\sqrt{4-\sqrt{7}}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(4+\sqrt{7}\right)}{\sqrt{28}+\sqrt{8+2\sqrt{7}}}-\dfrac{4\sqrt{2}-\sqrt{14}}{\sqrt{28}+\sqrt{8-2\sqrt{7}}}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2\sqrt{7}+\sqrt{\left(\sqrt{7}+1\right)^2}}-\dfrac{4\sqrt{2}-\sqrt{14}}{2\sqrt{7}+\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2\sqrt{7}+\sqrt{7}+1}-\dfrac{4\sqrt{2}-\sqrt{14}}{2\sqrt{7}+\sqrt{7}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(4+\sqrt{7}\right)}{3\sqrt{7}+1}-\dfrac{\sqrt{2}\left(4-\sqrt{7}\right)}{3\sqrt{7}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(4+\sqrt{7}\right)\left(3\sqrt{7}-1\right)-\sqrt{2}\left(4-\sqrt{7}\right)\left(3\sqrt{7}+1\right)}{\left(3\sqrt{7}-1\right)\left(3\sqrt{7}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(12\sqrt{7}-4+21-\sqrt{7}\right)-\sqrt{2}\left(12\sqrt{7}+4-21-\sqrt{7}\right)}{63-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(11\sqrt{7}+17-11\sqrt{7}+17\right)}{62}=\dfrac{34\sqrt{2}}{62}\)

\(=\dfrac{17}{31}\sqrt{2}\)

=>b=31; a=17

=>b-a=14

Sửa đề: Trên (O) lấy điểm C sao cho CA>CB

a: Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

Do đó: MA=MC

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó;ΔADB vuông tại D

=>AD\(\perp\)DB tại D

=>AD\(\perp\)MB tại D

Xét ΔMAB vuông tại A có AD là đường cao

nên \(MD\cdot MB=MA^2\)

=>MC²=MD*MB

b: \(MC^2=MD\cdot MB\)

=>\(\dfrac{MC}{MD}=\dfrac{MB}{MC}\)

Xét ΔMCB và ΔMDC có

\(\dfrac{MC}{MD}=\dfrac{MB}{MC}\)

\(\widehat{CMB}\) chung

Do đó: ΔMCB~ΔMDC

a: Xét (A) có

ΔOBM nội tiếp

OM là đường kính

Do đó;ΔOBM vuông tại B

=>OB\(\perp\)BM tại B

=>BM là tiếp tuyến của (O)

Xét (A) có

ΔOCM nội tiếp

OM là đường kính

Do đó: ΔOCM vuông tạiC

=>MC\(\perp\)CO tại C

=>MC là tiếp tuyến của (O)

b: AB=AO(O,B cùng thuộc (A))

OA=OB(B,A cùng thuộc (O))

Do đó: OB=BA

mà AB=AC

và OB=OC

nên OB=BA=AC=CO

Xét tứ giác OBAC có OB=BA=AC=OC

nên OBAC là hình thoi

\(A=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\left(x\ge0,x\ne1\right)\\ =\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{2}\\ =\dfrac{x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =\dfrac{-2\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)

a:

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

BC là đường kính

Do đó;ΔACB vuông tại A

 \(\widehat{AID}=\widehat{OIC}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{OIC}=\widehat{B}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

Do đó: \(\widehat{AID}=\widehat{B}\)

Xét ΔDAI vuông tại A và ΔDOB vuông tại O có

\(\widehat{D}\) chung

Do đó: ΔDAI\(\sim\)ΔDOB

=>\(\dfrac{DA}{DO}=\dfrac{DI}{DB}\)

=>\(DA\cdot DB=DI\cdot DO\)

b: Xét ΔBDC có

CA,DO là đường cao

CA cắt DO tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔBDC

=>BI\(\perp\)DC

a: Xét tứ giác OAMB có

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

=>OAMB là tứ giác nội tiếp

=>O,A,M,B cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

mà OA=OB

nên OM là đường trung trực của AB

=>OM⊥AB(1)

Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó:ΔABD vuông tại B

=>AB⊥BD(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM//BD

a: Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

Do đó: MA=MC

=>M nằm trên đường trung trực của AC(1)

OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AC

=>MO\(\perp\)AC tại trung điểm của AC

=>MO\(\perp\)AC tại H và H là trung điểm của AC

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OH\cdot OM=R^2\)

b: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó:ΔADB vuông tại D

=>AD\(\perp\)DB tại D

=>AD\(\perp\)BM tại D

Xét ΔMAB vuông tại A có AD là đường cao

nên \(BD\cdot BM=BA^2=4R^2\)

c: Xét ΔOAM vuông tại A có AH làđường cao

nên \(AH^2=OH\cdot HM\)

=>\(4\cdot HO\cdot HM=4\cdot AH^2=AC^2\)

d: Xét ΔMAB vuông tại A có AD là đường cao

nên \(MD\cdot MB=MA^2\)

=>\(MD\cdot MB=MC^2\)

a: Xét (O) có

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

\(\widehat{BIC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(\widehat{BAC}=\widehat{BIC}\)

=>\(\widehat{DAB}=\widehat{DIC}\)

Xét ΔDAB và ΔDIC có

\(\widehat{DAB}=\widehat{DIC}\)

\(\widehat{ADB}=\widehat{IDC}\)

Do đó: ΔDAB đồng dạng với ΔDIC

=>\(\dfrac{DA}{DI}=\dfrac{DB}{DC}\)

=>\(DA\cdot DC=DB\cdot DI\)

b: Xét (O) có

\(\widehat{IBA}\) là góc nội tiếp chắn cung IA

\(\widehat{IBC}\) là góc nội tiếp chắn cung IC

\(\widehat{IBA}=\widehat{IBC}\)

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{IA}=sđ\stackrel\frown{IC}\)

Xét (O) có

\(\widehat{ICA}\) là góc nội tiếp chắn cung IA

\(\widehat{IBC}\) là góc nội tiếp chắn cung IC

Do đó: \(\widehat{ICA}=\widehat{IBC}\)

Xét ΔICD và ΔIBC có

\(\widehat{ICD}=\widehat{IBC}\)

\(\widehat{CID}\) chung

Do đó: ΔICD đồng dạng với ΔIBC