Dựng hình vuông ABDC

\(\Rightarrow SA=SB=SC=SD=2\) ; \(CD=AB=2\)

\(CD||AB\Rightarrow\widehat{\left(AB;SC\right)}=\widehat{\left(CD;SC\right)}=\widehat{SCD}\)

Tam giác SCD có \(SC=SD=CD\Rightarrow\Delta SCD\) đều

\(\Rightarrow\widehat{SCD}=60^0\)

a.

\(AB\perp\left(BCD\right)\Rightarrow BC\) là hình chiếu vuông góc của AC lên (BCD)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}\) là góc giữa AC và (BCD)

\(tan\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{ACB}=60^0\)

b.

Tương tự câu a, ta có BD là hình chiếu vuông góc của AD lên (BCD)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}\) là góc giữa AD và (BCD)

\(tan\widehat{ADB}=\dfrac{AB}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{ADB}=60^0\)

c.

Gọi E là trung điểm BC \(\Rightarrow DE\perp BC\) (do BCD đều)

Mà \(AB\perp\left(BCD\right)\Rightarrow AB\perp DE\)

\(\Rightarrow DE\perp\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow AE\) là hình chiếu vuông góc của AD lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}\) là góc giữa AD và (ABC)

\(DE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

\(BE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\Rightarrow AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\dfrac{a\sqrt[]{13}}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{DAE}=\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{\sqrt{39}}{13}\Rightarrow\widehat{DAE}\approx25^039'\)

\(\lim\left(2n+1-\sqrt{4n^2-3}\right)=\lim\dfrac{\left(2n+1\right)^2-\left(4n^2-3\right)}{2n+1+\sqrt{4n^2-3}}\)

\(=\lim\dfrac{4n+4}{2n+1+\sqrt{4n^2-3}}=\lim\dfrac{4+\dfrac{4}{n}}{2+\dfrac{1}{n}+\sqrt{4-\dfrac{3}{n^2}}}=\dfrac{4}{2+\sqrt{4}}=1\)

\(\lim\dfrac{\left(-3\right)^n+4.2^n}{2-\left(-3\right)^n}=\lim\dfrac{\left(-3\right)^n\left[1+4.\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n\right]}{\left(-3\right)^n\left[2.\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-1\right]}\)

\(=\lim\dfrac{1+4\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n}{2\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-1}=\dfrac{1+4.0}{2.0-1}=-1\)

\(\lim\dfrac{\sqrt{3n^2-3}-\sqrt{n^2-2n-1}}{2n}=\lim\dfrac{n\left(\sqrt{3-\dfrac{3}{n^2}}-\sqrt{1-\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n^2}}\right)}{2n}\)

\(=\lim\dfrac{\sqrt{3-\dfrac{3}{n^2}}-\sqrt{1-\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n^2}}}{2}=\dfrac{\sqrt{3-0}-\sqrt{1-0-0}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)

Lời giải:
\(\lim \frac{4n^5+n^3-5n+3}{(2n^2-3)(2n+1)^3}=\lim \frac{4+\frac{1}{n^2}-\frac{5}{n^4}+\frac{3}{n^5}}{(2-\frac{3}{n^2})(2+\frac{1}{n})^3}=\frac{4}{2.2^3}=\frac{1}{4}\)

Đây có đề bài bạn yêu cầu không, Hạnh?