Áp dụng t/c dãy tỉ :

a/b = b/c = c/d = (a + b + c)/(b + c + a).

Suy ra :  (a/b)^3 = (a+b+c/b+c+a)^3  

Vậy (a+b+c/B+c+d)^3 = (a/b)^3 = (a/b).(a/b).a/b) = (a/b).(b/c).(c/a) = a/d (vi dc  rút gọn )

sửa c/d thành c/a nh

`(x-2):(x-1)=(x+4)(x+7)`

\(< =>\dfrac{x-2}{x-1}=\dfrac{x+4}{x+7}\left(x\ne1;x\ne-7\right)\)

`=>(x-2)(x+7)=(x+4)(x-1)`

`<=>x^2 +7x-2x-14=x^2 -x+4x-4`

`<=>x^2 +5x-14-x^2 -3x+4=0`

`<=>2x-10=0`

`<=>2x=10`

`<=>x=5(tm)`

\(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{56}\)

\(=\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{3\times4}+\dfrac{1}{4\times5}+\dfrac{1}{5\times6}+\dfrac{1}{6\times7}+\dfrac{1}{7\times8}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{8}{16}-\dfrac{2}{16}\)

\(=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}\)

 Gọi N là giao điểm của BM và AC. Do \(\widehat{NAM}=\widehat{NBA}\) nên \(\Delta NAM\) đồng dạng với \(\Delta NBA\), suy ra \(\dfrac{NA}{NB}=\dfrac{NM}{NA}\) \(\Rightarrow NA^2=NB.NM\)  (1)

  Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^o\), lại có \(\widehat{MBA}=\widehat{MCA}\) nên ta có \(\widehat{ABC}-\widehat{MBA}=\widehat{ACB}-\widehat{MCA}\) hay \(\widehat{NBC}=\widehat{NCM}\). Từ đây có\(\Delta NCM\) đồng dạng với tam giác \(\Delta NBC\), suy ra \(\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{NM}{NC}\Rightarrow NC^2=NB.NM\)  (2)

 Từ (1) và (2), suy ra \(NA^2=NC^2\left(=NB.NM\right)\) \(\Rightarrow NA=NC\), suy ra N là trung điểm của đoạn AC \(\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}\). Mà \(AC=AB\) nên \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{1}{2}\) 

  Mặt khác, \(\widehat{BAC}=\widehat{MAN}+\widehat{BAM}=90^o\), đồng thời \(\widehat{MAN}=\widehat{MBA}\) nên \(\widehat{MBA}+\widehat{BAM}=90^o\), do đó \(\Delta ABM\) vuông tại M \(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^o\). Từ đó lại suy ra \(\Delta BAM\) và \(\Delta BNA\) đồng dạng, suy ra \(\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{BA}{BM}\) hay \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{BM}\). Nhưng do \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\) nên \(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow BM=2AM\) (đpcm)

\(3^2.\dfrac{1}{243}.81^2.\dfrac{1}{3^3}\)

\(=3^2.\dfrac{1}{3^5}.3^8.\dfrac{1}{3^3}\)

\(=\dfrac{3^2.3^8}{3^5.3^3}\)

\(=\dfrac{3^{10}}{3^8}\)

\(=3^2\)

\(=9\)

`4/3 +11/6 -2/9 - 5/3`

`= (4/3 - 5/3)+11/6-2/9`

`= -1/3 +11/6 -2/9`

`= -2/6 +11/6 -2/9`

`= 9/6 -2/9`

`= 3/2 -2/9`

`= 27/18 - 4/18`

`= 23/18`

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

\(\dfrac{4}{3}+\dfrac{11}{6}-\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{3}\)

`=`\(\left(\dfrac{11}{6}-\dfrac{2}{9}\right)+\left(\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{3}\right)\)

`=`\(\dfrac{29}{18}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{23}{18}\)

Gọi số học sinh giỏi là \(a\left(a\inℕ^∗\right)\) ( học sinh )

       Số học sinh khá là \(a\times\dfrac{5}{2}=a\times2,5\) ( học sinh )

Nếu số học sinh giỏi thêm 10 bạn và số học sinh khá giảm đi 6 bạn thì số học sinh khá gấp 2 lần số học sinh giỏi

=> \(a\times2,5-6=2\times\left(a+10\right)\) 

      \(a\times2,5-6=2\times a+20\) 

\(a\times2,5-2\times a=20+6\)

            \(a\times0,5=26\)

                      \(a=26\div0,5\)

                      \(a=52\)

Vậy số học sinh giỏi khối 7 là 52 học sinh