\(a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-ab=\left(c+d\right)^2-cd\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c-d\right)\left(a+b+c+d\right)=ab-cd\)

GIả sử \(a+b+c+d=p\)là số nguyên tố. 

Khi đó \(a+b+c\equiv-d\left(modp\right)\)

\(ab-cd\equiv0\left(modp\right)\Leftrightarrow ab+c\left(a+b+c\right)\equiv0\left(modp\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(c+a\right)\left(c+b\right)\equiv0\left(modp\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}c+a⋮p\\c+b⋮p\end{cases}}\)

mà \(1< c+a,c+b< p\)do \(a,b,c,d\)nguyên dương nên mâu thuẫn. 

Do đó \(a+b+c+d\)không là số nguyên tố. 

Mà \(a+b+c+d>1\)nên \(a+b+c+d\)là hợp số. 

Xét th p=q để khi làm p khác q thì có giả thiết gcd(p,q)=1 :))

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(\sqrt{1-x}\)là cái căn cuối đó

\(a,b,c\le2\)nên \(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow abc-2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)-8\le0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge\frac{4.3-8-abc}{2}\ge2\)(do \(a,b,c\ge0\)nên \(abc\ge0\)) 

\(A=a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\le3^2-2.2=5\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}a+b+c=3\\abc=0\\\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=1\\c=2\end{cases}}\)và các hoán vị.