\(S=1+2+2^2+2^3+...+2^{2009}+2^{2008}\\ 2S=2\left(1+2+2^2+...+2^{2008}\right)\\ 2S=2+2^2+2^3+...+2^{2009}\\ 2S-S=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2009}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^{2008}\right)\\ S=2^{2009}-1\)

Ta có \(A=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)\)

\(A=n^2\left(n^4+n^3-n^3-n^2+2n+2\right)\)

\(A=n^2\left(n^3\left(n+1\right)-n^2\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)\left(n^3+n^2-2n^2+2\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)\left(n^2\left(n+1\right)-2\left(n^2-1\right)\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)\left(n^2\left(n+1\right)-2\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)

Do đó, để A là số chính phương thì \(n^2-2n+2\) phải là số chính phương.

\(\Leftrightarrow n^2-2n+2=k^2\left(k\inℕ,k\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow k^2-n^2+2n-1=1\)

\(\Leftrightarrow k^2-\left(n-1\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(k+n-1\right)\left(k-n+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow k+n-1=k-n+1=1\)

\(\Leftrightarrow k=n=1\)

Thử lại: Với \(n=1\), ta thấy \(A=1^2-1^4+2.1^3+2.1^2=4\) là SCP.

Vậy \(n=1\) là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn đề bài.

Bạn nên xét cả TH:\(n^2\left(n+1\right)^2=0\)  nữa nhé, do \(n=0\) cũng thỏa mãn A là số chính phương.

\(\dfrac{2n+5}{n-4}=\dfrac{2n-8+13}{n-4}=\dfrac{2\left(n-4\right)+13}{n-4}=2+\dfrac{13}{n-4}\)

Để \(\dfrac{2n-5}{n-4}\) là số nguyên thì 13 ⋮ n - 4

⇒ n - 4 ∈ Ư(13) = {1; -1; 13; -13}

⇒ n ∈ { 5; 3; 17; -9} 

Các giá trị nguyên của $n$ thỏa mãn điều kiện là $n=-9$ và $n=17$.

\(B=\dfrac{A.\left(x+16\right)}{5}\left(x\ge0\right)\\ =\dfrac{5}{3+\sqrt{x}}.\dfrac{x+16}{5}=\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}\\ =\dfrac{x-9}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\\ =\sqrt{x}-3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\\ =\left(\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\right)-6\)

\(\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right).\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}}-6=2\sqrt{25}-6=4\) (Áp dụng BĐT Cô Si. Do \(\sqrt{x}+3,\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}>0\forall x\inĐK\))

Dấu = xảy ra khi: \(\sqrt{x}+3=\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3\right)^2=25\Rightarrow\sqrt{x}+3=5\) 

\(\Leftrightarrow x=4\left(TMDK\right)\)

Vậy GTNN B là: 4 tại x=4

\(-\dfrac{25}{20}>0\)

\(\dfrac{20}{25}>0\)

\(\Rightarrow-\dfrac{25}{20}< \dfrac{20}{25}\)

\(x^4+1997x^2+1996x+1997\)

\(=\left(x^4+x^3+x^2\right)+\left(-x^3-x^2-x\right)+\left(1997x^2+1997x+1997\right)\)

\(=x^2\left(x^2+x+1\right)-x\left(x^2+x+1\right)+1997\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1997\right)\)

Lời giải:

Đặt $M=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

Với $a,b,c$ nguyên dương thì:

$M=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}> \frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+a}+\frac{a}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1(*)$
Lại có:

Xét hiệu $\frac{b}{a+b}-\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{b(a+b+c)-(a+b)(b+c)}{(a+b)(a+b+c)}$

$=\frac{-b^2}{(a+b)(a+b+c)}<0$ với mọi $a,b,c$ nguyên dương.

$\Rightarrow \frac{b}{a+b}< \frac{b+c}{a+b+c}$
Tương tự: 

$\frac{c}{b+c}< \frac{c+a}{b+c+a}$

$\frac{a}{c+a}< \frac{a+b}{c+a+b}$
$\Rightarrow M< \frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{b+c+a}+\frac{a+b}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< M< 2$

Do đó $M$ không phải số nguyên.

Bạn lưu ý lần sau gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé.

a\(\): \(K=1-5+5^2-5^3+...+5^{100}\)

=>\(5K=5-5^2+5^3-5^4+...+5^{101}\)

=>\(5K+K=5-5^2+5^3-5^4+...+5^{101}+1-5+5^2-5^3+...+5^{100}\)

=>\(6K=5^{101}+1\)

=>\(K=\dfrac{5^{101}+1}{6}\)

b: \(5^{101}\) chia 6 sẽ dư 5 bởi vì \(5^{101}+1⋮6\) và 1+5=6

Vậy giá trị của $P$ là $2$ trong trường hợp có nghiệm $a=1$, $b=1$, $c=0$.