là 20 chữ

cccccccccccccccccccccc ( 20 chữ c)

:))
 

50000000000 cái lông

50000000000

Đặt \(\sqrt[3]{3x^2-x+2001}=a;-\sqrt[3]{3x^2-7x+2002}=b;-\sqrt[3]{6x-2003}=c\)

Thì ta có được hệ: \(\hept{\begin{cases}a+b+c=\sqrt[3]{2002}\\a^3+b^3+c^3=2002\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

Với  a = - b thì

\(\sqrt[3]{3x^2-x+2001}=\sqrt[3]{3x^2-7x+2002}\)

\(\Leftrightarrow3x^2-x+2001=3x^2-7x+2002\)

\(\Leftrightarrow6x=1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại 

\(\Leftrightarrow\)x=\(\frac{1}{6}\)

\(P=\frac{a^3}{a^2+2b^2}+\frac{b^3}{b^2+2a^2}\)
\(\Leftrightarrow P=a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+2b^2\ge2\sqrt{2a^2b^2}=2ab\sqrt{2}\\b^2+2a^2\ge2\sqrt{2a^2b^2}=2ab\sqrt{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}\le\frac{2ab^2}{2ab\sqrt{2}}=\frac{b}{\sqrt{2}}\\\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\le\frac{2a^2b}{2ab\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}\ge a-\frac{b}{\sqrt{2}}\\b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge b-\frac{a}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge a+b-\left(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)\)

\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge\frac{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(a+b\right)}{2}\)

Ta có  \(\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}\ge9\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow9\le\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}\le\frac{a+b+4}{2}\)

\(\Rightarrow9\le\frac{a+b+4}{2}\)

\(\Rightarrow a+b\ge14\)

\(\Rightarrow\frac{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(a+b\right)}{2}\ge14-7\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge14-7\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P\ge14-7\sqrt{2}\)

Vậy GTNN của \(P=14-7\sqrt{2}\)