Phương trình tham số của ∆ : 

Xét điểm H(1 + 2t; −1 − t; 2t) ∈   ∆

Ta có  MH →  = (2t − 1; −t; 2t − 1)

a ∆ →  = (2; −1; 2)

H là hình chiếu vuông góc của M trên  ∆  ⇔  MH → .  a ∆ →  = 0

⇔ 2(2t − 1) + t + 2(2t − 1) = 0 ⇔ t = 4/9

Ta suy ra tọa độ điểm 

H là trung điểm của MM’, suy ra x M ' + x M = 2 x H

Suy ra

Tương tự, ta được

Vậy 

H là trung điểm của MM’, suy ra x M ' = 2 x H - x M  = −67/9

y M ' = 2 y H - y M  = 29/9

z M ' = 2 z H - z M  = −58/9

Vậy ta được 

Xét phương trình:

2(1 + 2t) + (t) + (−2 – 3t) – 1 = 0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t = 1/2

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ( α ) tại điểm M(2; 1/2; −7/2).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là  n α →  = (2; 1; 1) và  a d →  = (2; 1; −3).

Gọi  a ∆ → là vecto pháp tuyến của Δ, ta có  a ∆ →   ⊥   n α → và  a ∆ → ⊥   a d →

Suy ra  a ∆ → =  n α → ∧   n d → = (−4; 8; 0) hay  a ∆ →  = (1; −2; 0)

Vậy phương trình tham số của ∆ là 

Phương trình tham số của đường thẳng  ∆  đi qua điểm M(1; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng ( α ): 2x – y + 2z + 12 = 0 là:

Δ 

Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t; 2 + 2t)  ∈   ∆

Ta có H ∈ ( α ) ⇔ 2(1 + 2t) + (1 + t) + 2(2 + 2t) + 12 = 0 ⇔ t = −19/9

Vậy ta được 

d( α ,( α )) = d( M 0 ,( α ))

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng  α  và mặt phẳng ( α ) là 2/3.

Ta có:

Do đó I(1; 3; 4)

Phương trình mặt phẳng ( α ) qua I và vuông góc với OA là: x – 1 = 0, ( α ) cắt OA tại K(1; 0; 0)

Khoảng cách từ I đến OA là:

Ta có: M(x, y, z) ∈ (P)

⇔ d(M, ( P 1 )) = d(M, ( P 2 ))

⇔|2x + y + 2z + 1| = |2x + y + 2z + 5|

⇔ 2x + y + 2z + 1 = – (2x + y + 2z + 5)

⇔ 2x + y + 2z + 3 = 0

Từ đó suy ra phương trình của (P) là: 2x + y + 2z + 3 = 0.

Ta chứng minh được d không song song với d' vì chúng có các vectơ chỉ phương không cùng phương.

Giải hệ phương trình

⇒ hệ phương trình vô nghiệm

Do đó d và d' chéo nhau.