áp dụng BĐT (a - b)² ≥ 0 → a² + b² ≥ 2ab ta có: 
x² + y² ≥ 2xy 
x² + 1 ≥ 2x 
y² + z² ≥ 2yz 
y² + 1 ≥ 2y 
z² + x² ≥ 2xz 
z² + 1 ≥ 2z 
Cộng theo vế → 3(x² + y² + z²) + 3 ≥ 2(x + y + z + xy + yz + zx) = 2.6 = 12 
→ x² + y² + z² ≥ 9/3 = 3 
→ đpcm (dấu = xảy ra khi x = y = z = 1)

Bài 1:

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng).

Áp dụng vào bài toán:
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(1)

Sử dụng BĐT Cauchy, ta được:

\(x^2+1\ge2x;\)\(y^2+1\ge2y;\)\(z^2+1\ge2z\)

Cộng theo vế: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(2)

Cộng (1) với (2) theo vế: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)

Thay \(x+y+z+xy+yz+zx=6\)

Suy ra: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)(đpcm).

Bài 2:

Ta có: \(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)\)

\(=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right).\left(a^3-b^3\right)\)

\(=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(luôn đúng)

Suy ra \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)(1)

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\)(2)

Cộng (1) với (2) theo vế, ta được: 

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)(đpcm).

Ta có: \((a^{2007}+b^{2007})\left(a+b\right)-\left(a^{2006}+b^{2006}\right)ab\)

\(=\left(a^{2008}+a^{2007}b+ab^{2007}+b^{2008}\right)-\left(a^{2007}b+ab^{2007}\right)\)

\(=a^{2008}+b^{2008}\)

Mà: \(a^{2006}+b^{2006}=a^{2007}+b^{2007}=a^{2008}+b^{2008}\)    ( * )

\(\Rightarrow\left(a^{2008}+b^{2008}\right)\left(a+b\right)-\left(a^{2008}+b^{2008}\right)ab=a^{2008}+b^{2008}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^{2008}+b^{2008}\right)\left(a+b-ab\right)=a^{2008}+b^{2008}\)

\(\Leftrightarrow a+b-ab=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)-b\left(a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)

thay vào (*) ta tính dc: 

a=1 thì\(\orbr{\begin{cases}b=1\\b=0\end{cases}}\)                   b=1 thì \(\orbr{\begin{cases}a=1\\a=0\end{cases}}\)

mặt khác a, b dương => a=1, b=1

Khi đó:   \(a^{2009}+b^{2009}=1+1=2\)

Ta có : \(a^{2006}+b^{2016}=a^{2007}+b^{2007}=a^{2008}+b^{2008}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^{2006}+b^{2006}-\left(a^{2007}+a^{2007}\right)=0\left(1\right)\\a^{2008}+b^{2008}-\left(a^{2007}+b^{2007}\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\) 

Cộng (1) với (2)  => \(a^{2008}+b^{2008}-2\left(a^{2007}+b^{2007}\right)+a^{2006}+b^{2006}=0\)

\(\Leftrightarrow a^{2008}-2a^{2007}+a^{2006}+b^{2008}-2b^{2007}+b^{2006}\)

\(\Leftrightarrow a^{2006}\left(a^2-2a+1\right)+b^{2006}\left(b^2-2b+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^{2006}\left(a-1\right)^2+b^{2006}\left(b-1\right)^2=0\) (*) 

Vì a , b > 0 và : \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\) ; \(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)

Nên : phương trình (*) <=> \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=1}}\)

Vậy \(S=a^{2009}+b^{2009}=1+1=2\)

Gọi chiều rộng là x(x>0,dv:m)

Chiều dài là 4x(m) 

S ban đầu là 4x²

Chi rộng khi bớt là x-5

Chiều dài khi tăng là 4x+10

S sau khi tăng là (x-5)(4x+10)

Theo bài có phương trình

4x²-(x-5)(4x+10)

Giải Pt ta đc:x=10

Chiều Rồng là 10m chi dài là 40m

S ban đầu là 40*10=400m²

Gọi chiều rộng của hình chư nhật đó là : a \(\left(m/a>5\right)\)

Do chiều dài gấp 4 lần chiều rộng nên chiều dài là : \(4a\left(m\right)\)

Diện tích hình chữ nhật là : \(4a^2\) \(\left(m^2\right)\)

Khi tăng chiều dài thêm 10 m và giảm chiều rộng đi 5 m thì diện tích hình chữ nhật đó là :\(\left(4a+10\right)\times\left(a-5\right)\) \(\left(m^2\right)\)

Mà diện tích hình chữ nhật mới giảm  \(150m^2\) so với ban đầu . 

Ta có phương trình :

\(4a^2-\left(4a+10\right)\left(a-5\right)=150\)

\(\Leftrightarrow4a^2-\left(4a^2-20a+10a-50\right)=150\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4a^2+10a+50=150\)

\(\Leftrightarrow10a=100\)

\(\Leftrightarrow a=10\left(tm\right)\)

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 10 ( m )

Chiều dài hình chữ nhật là : 10 x 4 = 40 ( m )

Chu vi của hình chữ nhật đó là :

\(\left(10+40\right)\times2=100\left(m\right)\) 

Vậy ...