Một phương trình bậc hai một ẩn nếu có các hệ số a+b+c=0 thì nó có hai nghiệm là gì?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{a+b}{4}\).Thiết lập các BĐT tương tự:
\(\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4};\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Từ \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)
\(\Rightarrow\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)
Cho \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) thì ta có:
\(x^2+y^2+z^2\ge3\forall\hept{\begin{cases}x+y+z+xy+yz+xz=6\\x,y,z>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\)
\(y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\)
\(z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)
Lại có BĐT quen thuộc \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\left(2\right)\)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\cdot6=12\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
GT của bài toán được viết lại thành\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)
áp dụng bđt Cauchy ta được
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab};\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc};\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ca}\)
\(\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b^2}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{c^2}+1\ge\frac{2}{c}\)
cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được \(3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+3\ge2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2\cdot6=12\)
hay \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
đẳng thức được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left[\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2\right]\left[\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\right]\ge\left(x^2+y^2\right)^2\left(1\right)\)
Lại có: \(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
Vậy từ \(\left(1\right)\) có: \(2\left[\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\right]\ge\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge\frac{1}{4}\Rightarrow x^4+y^4\ge\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{a+c}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge6\)
\(=\frac{3}{b+c}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{3}{a+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{3}{a+b}+\frac{c^2}{a+b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Lại có: \(\frac{3}{b+c}+\frac{3}{a+c}+\frac{3}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\)
\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+3\). Lại theo BĐT Nesbitt ta có:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\forall\)a,b,c dương
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+3\ge\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow P=Σ\frac{3}{b+c}+Σ\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Thì chỉ có 2 nghiệm thôi bạn. Lúc đầu học là 2 nghiệm phân biệt nhưng trong 1 lần làm bài tập, ptrình có a + b + c = 0, mình kết luận có 2 nghiệm phân biệt nhưng kết quả tính có 2 nghiệm y hệt nhau. Hỏi thầy thì thầy nói để " 2 nghiệm " thôi, không có " phân biệt "