gọi số sách ban đầu ở ngăn A và B là x và y

ta có 

\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{2}{5}\\\frac{x+3}{x+3+y}=\frac{5}{11}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x=2x+2y\\5x+15+5y=11x+33\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}3x=2y\\5y-6x=18\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=12\\y=18\end{cases}}}\)

Vì n \(\inℕ\)

=> Đặt n = 5k (k \(\inℕ\))

Khi đó : n² + n + 2 = (5k)² + 5k + 2 = 25k² + 5k + 2 = 5k(k + 1) + 2 

=> Với n = 5k , n² + n + 2 không chia hết cho 5 (1)

Đặt n = 5k + 1 

Khi đó : n² + n + 2 = (5k + 1)² + 5k + 1 + 2

= 25k² + 5k + 5k + 1 + 5k + 1 + 2

= 25k² + 15k + 4 

=> Với n = 5k + 1, n² + n + 2 không chia hết cho 5 (2)

Đặt n = 5k + 2 

Khi đó : n² + n + 2 = (5k + 2)² + 5k + 2 + 2

= 25k² + 10k + 10k + 4 + 5k + 2 + 2

= 25k² + 25k + 8 

=> Với n = 5k + 2, n² + n + 2 không chia hết cho 5 (3)

Đặt n = 5k + 4 

Khi đó : n² + n + 2 = (5k + 4)² + 5k + 4 + 2

= 25k² + 20k + 20k + 16 + 5k + 4 + 2

= 25k² + 40k + 22 

=> Với n = 5k + 4, n² + n + 2 không chia hết cho 5 (4)

Từ (1)(2)(3)(4) => ĐPCM

a, -25 < 13

b, 99 > -100

c, -999 > -1000

Gọi ƯCLN(n + 1 , n² + 2n + 2) = d (d \(\inℕ^∗\))

=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\n^2+2n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n+1\right).\left(n+1\right)⋮d\\n^2+2n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^2+n+n+1⋮d\\n^2+2n+2⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}n^2+2n+1⋮d\\n^2+2n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(n^2+2n+2\right)-\left(n^2+2n+1\right)⋮d\)

=> \(1⋮d\Rightarrow d=1\)(tm)

=> ƯCLN(n + 1 ; n² + 2n + 2) = 1

=> \(\frac{n+1}{n^2+2n+2}\)là phân số tối giản

ta có 

\(2x-3\text{ chia hết cho }3x-5\) nên \(3\left(2x-3\right)\text{ chia hết cho }3x-5\)

mà \(3\left(2x-3\right)=2\left(3x-5\right)+1\text{ chia hết cho 3x-5}\)

khi 1 chia hết cho 3x-5 hay \(3x-5=\pm1\Rightarrow x=1\text{ hoặc }x=\frac{4}{3}\text{(loại)}\)