Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}\cdot\frac{b+c}{4}}=2\cdot\frac{1}{2a}=\frac{1}{a}\)

Tuong tu cho 2 BDT con lai ta cung co

\(\frac{1}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{a+c}{4}\ge\frac{1}{b};\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4}\ge\frac{1}{c}\)

Cong theo ve cac BDT tren ta co

\(VT+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow VT+\frac{a+b+c}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\left(abc=1\right)\)

\(\Rightarrow VT+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}\ge3\Rightarrow VT+\frac{3}{2}\ge3\Rightarrow VT\ge\frac{3}{2}\)

Dang thuc xay ra khi \(a=b=c=1\)

Sửa đề: Cho \(a,b,c>0\) và \(abc=1\). Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge a+b+c\)

Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}\ge\frac{\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a+b+c}}{abc}\ge a+b+c\)

Cách 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}\ge3a\)

Tương tự ta cũng có \(\frac{2b}{c}+\frac{c}{a}\ge3b;\frac{2c}{a}+\frac{a}{b}\ge3c\)

Cộng theo vế và rút gọn ta có ĐPCM

Cách 3: Đặt \(x=\sqrt[9]{\frac{ab^4}{c^2}};y=\sqrt[9]{\frac{ca^4}{b^2}};z=\sqrt[9]{\frac{bc^4}{a^2}}\)

\(\Rightarrow a=xy^2;b=xz^2;c=yz^2\forall xyz\le1\)

Áp dụng BĐT Rearrangement ta có:

\(Σ\frac{a}{b}=Σ\frac{x^2}{yz}\ge xyzΣ\frac{x^2}{yz}=Σx^3\geΣxy^2=Σa\)

ta có:

\(ab< =\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}< =a^2+b^2=1\)

=>\(2\left(a+b\right)< =2\sqrt{2}\)

=>\(ab+2\left(a+b\right)< =\frac{1}{2}+2\sqrt{2}=\frac{1+4\sqrt{2}}{2}\)

=>Max ab+2(a+b)=\(\frac{1+4\sqrt{2}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=1\\a=b\end{cases}< =>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

ko có , vô google mà tra

gio thoi thoang thoang huong thum thum

ai danh ram ma huong thom the

a) Ta có ^BME = ^BOE = 2.^BIE (= 2.^BIM) => ^BIM = ^MBI = ^BME/2 => \(\Delta\)MBI cân tại M (đpcm).

b) Ta dễ thấy ^KNA = ^OBA = ^OAB (= 30⁰) => \(\Delta\)NKA cân tại K => KA = KN (1)

Lại có ^BEN = 180⁰ - ^BON = 60⁰ = ^CAB = ^BEC => Tia EN trùng tia EC hay N,E,C thẳng hàng

Từ đó ^CMN = ^BEC = 60⁰ = ^CBA => MN // BK

Mà tứ giác BMNK nội tiếp (O') nên KN = BM = IM (Vì \(\Delta\)MBI cân tại M)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra IM = KA (đpcm).

đề sai thì phải \(\left(2x^2+x-4\right)^2-\left(2x-1\right)^2\)^{2
 <=>     \(\left(2x^2+x-4+2x-1\right)\)}\(\left(2x^2+x-4-2x+1\right)\)( HĐT 3)
 <=>    \(\orbr{\begin{cases}2x^2+3x-5=0 \\2x^2-x-3=0\end{cases}} \)giải ra là đc ng