theo đề bài \(\left(x+\sqrt{x^2+2010}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2010}\right)=2010\)

mà \(\left(\sqrt{x^2+2010}+x\right)\left(\sqrt{x^2+2010}-x\right)=2010\)

nên \(\sqrt{x^2+2010}-x=\sqrt{y^2+2010}+y\)

hay \(x+y=\sqrt{x^2+2010}-\sqrt{y^2+2010}\) (1)

Tương tự \(\left(\sqrt{y^2+2010}+y\right)\left(\sqrt{y^2+2010}-y\right)=2010\)

nên \(\sqrt{x^2+2010}+x=\sqrt{y^2+2010}-y\)

hay \(x+y=\sqrt{y^2+2010}-\sqrt{x^2+2010}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra S = x + y = 0.

Theo vi-et thì ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{3a-1}{2}\\x_1x_2=-1\end{cases}}\)

Từ đây ta có: 

\(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(\frac{3a-1}{2}\right)^2-4.1=\left(\frac{3a-1}{2}\right)^2-4\)

Theo đề bài thì 

\(P=\frac{3}{2}.\left(x_1-x_2\right)^2+2\left(\frac{x_1-x_2}{2}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)^2\)

\(=\frac{3}{2}.\left(x_1-x_2\right)^2+2.\left(x_1-x_2\right)^2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x_1x_2}\right)^2\)

\(=\left(x_1-x_2\right)^2\left(\frac{3}{2}+2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x_1x_2}\right)^2\right)\)

\(=\left(\left(\frac{3a-1}{2}\right)^2-4\right)\left(\frac{3}{2}+2.\left(\frac{1}{2}+1\right)^2\right)\)

\(=6\left(\left(\frac{3a-1}{2}\right)^2-4\right)\ge6.4=24\)

Dấu = xảy ra khi \(a=\frac{1}{3}\)

what the đề yêu cầu ?

theo đầu bài ta có :

.b.(140+40)=a=c.(160-60)     (b;c thuộc N ; a là số tienf của bà)

=> b.180=a=c.100

=> a = BCNN(180;100)

BCNN(180;100)=900

vậy bà dành dụm được 900

Em mới học lớp 6 nhưng cũng làm được mà.

Số cháu của bà là:

(40000+60000):(160000-140000)=5(cháu)

Bà dành dụm số tiền là:

140000.5+40000=740000(đ)

PT x² + x + 1 = 0 vô nghiệm.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(a^4+bc\ge2\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+bc}\le\frac{a^2}{2a^2\sqrt{bc}}\)\(=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:

\(M\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ac}}\). Theo AM-GM có

\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\) thì

\(M\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

từ GT suy ra abc >=1 và a/bc + b/ca + c/ab = 3.

áp dụng BĐT Cauchy : a⁴ + bc >=2a²v(bc) (v(bc) là căn bc).

nên a²/a⁴ + bc <=1/2v(bc).

do đó M <= 1/2.(1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab).

ta chứng minh N = (1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab) <=3 là xong.

thật vậy.

giả sử a <=b<=c nên 1/v(bc) <= 1/v(ca)<= 1/v(ab).

áp dụng BĐT Trê bư sep ta được (v(a) + v(b) + v(c))/3 . ((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3 <= (v(a)/v(bc) + v(b)/v(ca) + v(c)/v(ab)/3.

ta có v(a) + v(b) + v(c) >=3 căn6(abc)>=3.

nên VT >=((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3. (1)

lại có (x + y + z)² <=3(x² + y² + z²) nên (VP)² <= (a/bc + b/ca + c/ab)/3= 1.

hay VP <= 1 (2).

từ (1) và (2) suy ra ((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3 <= 1 hay

(1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab) <= 3

tức N <= 3 (đpcm).

(mình chưa biết đánh nên cố đọc nhé!)

ta chứng minh VT pt nhỏ hơn \(\sqrt{10}\) nên pt vô nghiệm.

thật vậy.

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2+1}\)

                                                   \(x^2-2x+5\ge2\sqrt{x^2-2x+5}\)

nên VT \(\le\frac{x^2+1+x^2-2x+5}{2}\)

VT \(\le x^2-x+3\le\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\le\frac{11}{4}< \sqrt{10}\)

Vậy PT vô nghiệm.

ngược dấu kìa :

ÁP dụng Minkowski:\(VT=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{\left(1-x\right)^2+4}\ge\sqrt{\left(x+1-x\right)^2+\left(1+2\right)^2}=\sqrt{10}\)

dấu = xảy ra khi \(\frac{x}{1-x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)