\(sin^6a+cos^6a+3sin^2a.cos^2a=sin^6a+cos^6a+3sin^2a.cos^2a\left(sin^2a+cos^2a\right)\)

\(=\left(sin^2a+cos^2a\right)^3=1\)

Ta có: \(\left(a-1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1\)

\(=a\left(a^2-3a+3\right)-1=a\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}a-1\ge\frac{3}{4}a-1\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\left(b-1\right)^3\ge\frac{3}{4}b-1;\left(c-1\right)^3\ge\frac{3}{4}c-1\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-3=\frac{3}{4}\cdot3-3=-\frac{3}{4}\)

\(\sqrt{833}=7\sqrt{17}\)

Cho \(\sqrt{x}=a\sqrt{17}\)và  \(\sqrt{y}=b\sqrt{17}\)với \(a+b=7\)

\(\Rightarrow a=1\)thì \(b=6\)tương tự với các kết quả khác sao cho \(a+b=7\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=1\sqrt{17}=\sqrt{17}\Leftrightarrow x=17\) và \(\sqrt{y}=6\sqrt{17}=\sqrt{17\cdot6^2}=\sqrt{612}\Leftrightarrow y=612\)

Làm tương tự với từng kết quả của a và b

m x n =1.219326311 x  \(10^{17}\)

m.n = 123456789.987654321=121932631112635269

delta = b² - 4ac = (-(m+2))² - 4*1*(2m-1) = (m+2)² - 4( 2m-1 ) = m² + 4m +4 - 8m + 4 = m² - 4m + 8 = (m-2)2 + 4

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(m-2\right)^2>=0\left(voimoim\right)\\4>0\left(lđ\right)\end{cases}}\)

=> ( m-2)² +4 >0 ( với mọi m )

=> delta > 0 => pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Với n chẵn thì tổng đó thì tổng đó là hợp số vì chia hết cho 2

Vói n lẻ thì n=2k+1, thì ta có:

n⁴+4^2k+1=(n²+2^2k+1)²-n².2^2k+2=(n²+2^2k+1+n.2^k+1)(n²+2^2k+1-n.2^k+1)

Chỉ cần chứng minh cả hai cái đó lớn hơn 1 là được

Ta có: \(n^2+2^{2k+1}\ge2.n.2\frac{2k+1}{2}=n.2^{k+1}\)

Vì n lẻ >1nên n²+2^2k+1-n.2^k+1>1

Vậy số đó là hợp số

shut up and go out

1.

x + \(\sqrt{1-x^2}\) = 1

ĐK: -1 <= x <= 1

<=> \(\sqrt{1-x^2}\)= 1 - x

Vì 1 - x >= 0 nên ta có thể bình phương 2 vế

<=> 1 - x² = (1 - x)²

<=> 1 - x² = 1 - 2x + x²

<=> 2x² - 2x = 0

<=> 

x = 0

x = 1

2.

Hệ tương đương

\(\hept{\begin{cases}6\left(x+y\right)=5xy\\\frac{4y-3x}{xy}=1\end{cases}}\)

<=>

\(\hept{\begin{cases}6\left(x+y\right)=5xy\\4y-3x=xy\end{cases}}\)

<=>

\(\hept{\begin{cases}6\left(x+y\right)=5\left(4y-3x\right)\\4y-3x=xy\end{cases}}\)

<=>

\(\hept{\begin{cases}14y-21x=0\\4y-3x=xy\end{cases}}\)

<=>

\(\hept{\begin{cases}14y-21x=0\\y=\frac{3x}{4-x}\end{cases}}\)

Thay y = \(\frac{3x}{4-x}\)Vào PT trên

=> \(\frac{42x}{4-x}\)= 21x

<=> 42x = 21x(4 - x)

<=> 2x = x(4 - x)

<=> x² - 2x = 0

x = 0 (Loại vi x khác 0)

x = 2, => y = 3

Vậy, Nghiêm của hệ PT:

x = 2

y = 3

ý c làm thế nào vậy bạn?

a) Xét đường tròn (O) có tiếp tuyến MA, cát tuyến MBC => MA² = MB.MC (Hệ thức lượng đường tròn) (đpcm)

Xét \(\Delta\)MOA vuông tại A, đường cao AH => MA² = MH.MO (Hệ thức lượng tam giác vuông) (đpcm)

b) Từ câu a ta có: MB.MC = MH.MO (=AM²) => \(\Delta\)MBH ~ \(\Delta\)MOC (c.g.c) => ^MHB = ^MCO

=> Tứ giác BCOH nội tiếp đường tròn (đpcm).

c) Áp dụng ĐL Pytagore, ta có các đẳng thức về cạnh:

IK² = OI² - OK² = OI² - OA² = (OM - IM)² - OA² = OM² - 2.OM.IM + IM² - OA² = AM² - MH.MO + IM²

= AM² - AM² + IM² = IM² => IK = IM. Do đó: IK = IM = IH = MH/2

Xét \(\Delta\)MKH có: Trung tuyến KI=MH/2 (cmt) => \(\Delta\)KMH vuông tại K (đpcm).

d) Từ câu a: \(MA^2=MB.MC=\frac{MC}{4}.MC=\frac{MC^2}{4}\) => MA = MC/2 = MD

Từ đó: MA² = MD² = MH.MO => \(\Delta\)MDH ~ \(\Delta\)MOD (c.g.c) => ^MDH = ^MOD = 1/2.Sđ(HD_(ODH)

Suy ra: MC tiếp xúc với đường tròn (ODH) (đpcm).