Bài cuối:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(a^5+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a}+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\). Tương tự có:

\(\frac{1}{b^5+a^2+c^2}\le\frac{\frac{1}{b}+a^2+c^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2};\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{\frac{1}{c}+a^2+b^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(VT=Σ\frac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Cần chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) ( đúng) 

Vậy ta có ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

câu 1 mik nghĩ là nhỏ hơn hoặc = chứ nhỉ

\(2y^2.\sqrt{\frac{x^4}{4y^2}}=\frac{2y^2x^2}{-2y}=-2yx^2\)

\(0,2.x^3.y^3\sqrt{\frac{16}{x^4y^8}}=\frac{0,2.x^3y^3.4}{x^2.y^4}=\frac{8x}{10y}\)

\(x^4+\left(x^2+1\right)\cdot\sqrt{x^2+1}-1=0\)

\(\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}=1-x^4\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)^2\cdot\left(x^2+1\right)=\left(1-x^4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^3=\left(1-x^2\right)^2\cdot\left(1+x^2\right)^2\)                     

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^3-\left(1-x^2\right)^2\cdot\left(1+x^2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2\left[x^2+1-\left(1-2x^2+x^4\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2\left(3x^2-x^4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2\cdot x^2\left(3-x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\cdot\left(x^2+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{3}+x\right)\left(\sqrt{3}-x\right)=0\)

Vì  \(x^2+1\ge0\)  nên  \(\left(x^2+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(x^2=0\)  hoặc  \(\sqrt{3}+x=0\)  hoặc  \(\sqrt{3}-x=0\)

\(\Rightarrow\)\(x=0\)  hoặc   \(x=-\sqrt{3}\)  hoặc  \(x=\sqrt{3}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left\{-\sqrt{3};0;\sqrt{3}\right\}\)

mình thử chỉ có x = 0 là đúng à. Bài này rắc rối ghê

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=0\\\orbr{\begin{cases}\sqrt{3}+x=0\\\sqrt{3}-x=0\end{cases}}\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\\orbr{\begin{cases}x=-\sqrt{3}\\x=\sqrt{3}\end{cases}}\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)+\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2+1+\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}+2\right)=0\)

tự giải tiếp nhá

bài này áp dụng BĐT vô giải ra x=y=z=1

áp dụng AM-GM T a có

\(S=a+b+c+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge a+b+c+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\Rightarrow s\ge a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{3}{21}+\frac{9}{1}.\frac{21}{3}=\frac{442}{7}\)

\(S_{min}=\frac{442}{7}\)khi a=b=c=1/21

\(y=\sqrt{x-6}+\sqrt{2-x}\)

\(\Rightarrow y^2=\left(\sqrt{x-6}+\sqrt{2-x}\right)^2=x-6+2-x+2\cdot\sqrt{x-6}\cdot\sqrt{2-x}\)

\(\Leftrightarrow y^2=-4+2\cdot\sqrt{\left(x-6\right)\left(2-x\right)}=-4+2\cdot\sqrt{2x-x^2-12+6x}\)

\(\Leftrightarrow y^2=-4+2\cdot\sqrt{4-\left(x^2-8x+16\right)}=-4+2\cdot\sqrt{2^2-\left(x-4\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow y^2=-4+2\cdot\sqrt{\left(2+x-4\right)\left(2-x+4\right)}=-4+2\cdot\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\)

\(\Rightarrow y=\sqrt{-4+2\cdot\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}}\Rightarrow-4+2\cdot\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\ge0\)( ĐỂ Y CÓ GIÁ TRỊ KHI LẤY CĂN )

\(\Leftrightarrow2\cdot\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\ge4\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\ge2\)

TA ĐƯỢC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA Y = 2 ( khi x = 4 )

Còn về giá trị lớn nhất thì mình tìm không được vì hiếm khi một biểu thức có thể tìm được cả MIN và MAX

Tại chỉ dùng kiến thức lớp 8 nên hơi rối rắm nha! ^.^

đề sai à sửa lại đi bn

đề sai à sửa lại đi bn