Gọi K là giao điểm của CI và BE

Xét ΔΔABE và ΔΔKCE có

BEA=CEK (đ2)

BAE=CKE=90o

=> ΔΔABE đồng dạng với ΔΔKCE (g-g)

=>ABE=KCE(cặp góc TƯ)

Xét ΔABEΔABE và ΔACIΔACIcó

BAE=CAI=90O

AB=AC

ABE=ACI_c/m trên

=>ΔABE=ΔACI(g−c−g)ΔABE=ΔACI(g−c−g)

=> BE=CI (cặp cạnh tương ứng)

* Mình chúc bạn học tốt nhé !

vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác áp dụng bđt tam giác ta có\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\\a+c>b\Rightarrow a+c-b>0\\b+c>a\Rightarrow b+c-a>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b-c};\sqrt{a+c-b};\sqrt{b+c-a}\)luôn được xác định\(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)>=0\Rightarrow a+b-c-2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}+a+c-b\)\(>=0\Rightarrow a+b-c+a+c-b>=2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\Rightarrow\frac{a+b-c+a+c-b}{2}=\frac{2a}{2}\)

\(=a>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\)

tương tự ta có :\(b>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)};c>=\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}\)

\(\Rightarrow abc>=\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(a+c-b\right)^2\left(b+c-a\right)^2}=\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

dòng 3 là vì  \(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)^2>=0\)nhá

\(\frac{\Rightarrow\left(m+n\right)\left(m^2+n^2\right)}{4}< =\frac{m^3+n^3}{2}\Rightarrow2\left(m+n\right)\left(m^2+n^2\right)< =4\left(m^3+n^3\right)\)

\(\Rightarrow2\left(m^3+n^3+m^2n+mn^2\right)< =4\left(m^3+n^3\right)\Rightarrow2\left(m^3+n^3\right)+2\left(m^2n+mn^2\right)< =\)

\(2\left(m^3+n^3\right)+2\left(m^3+n^3\right)\Rightarrow2\left(m^2n+mn^2\right)< =2\left(m^3+n^3\right)\)

\(\Rightarrow2\left(m^2n+mn^2\right)-2\left(m^3+n^3\right)=2\left(m^2n+mn^2-m^3-n^3\right)< =0\)

\(\Rightarrow2\left(\left(m^2n-m^3\right)+\left(mn^2-n^3\right)\right)=2\left(m^2\left(n-m\right)+n^2\left(m-n\right)\right)\)

\(=2\left(m^2\left(n-m\right)-n^2\left(n-m\right)\right)=2\left(m^2-n^2\right)\left(n-m\right)=2\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(n-m\right)\)

\(=-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m-n\right)=-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)^2< =0\)

vì \(-2< 0;m+n>0;\left(m-n\right)^2>=0\Rightarrow-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)< =0\)luôn đúng

\(\Rightarrow\frac{m+n}{2}\cdot\frac{m^2+n^2}{2}< =\frac{m^3+n^3}{2}\)luôn đúng (đpcm)

dấu = xảy ra khi m=n

Đặt \(A=-x^2-y^2-x+y+1\) ta có : 

\(-A=x^2+y^2+x-y-1\)

\(-4A=4x^2+4y^2+4x-4y-4\)

\(-4A=\left(4x^2+4x+1\right)+\left(4y^2-4y+1\right)-6\)

\(-4A=\left[\left(2x\right)^2+2.2x.1+1^2\right]+\left[\left(2y\right)^2-2.2y.1+1^2\right]-6\)

\(-4A=\left(2x+1\right)^2+\left(2y-1\right)^2-6\ge-6\)

\(\Rightarrow\)\(A\le\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=0\\\left(2y-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+1=0\\2y-1=0\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}2x=-1\\2y=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-1}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

Vậy GTLN của \(A\) là \(\frac{3}{2}\) khi \(x=\frac{-1}{2}\) và \(y=\frac{1}{2}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

hi xin lỗi tôi chưa học lớp 8 k giùm nha

\(\left(m+1\right)\left(n+1\right)\left(p+1\right)=mnp+\left(m+n+p\right)+\left(mn+np+pm\right)+1\)

Dùng BĐT Cauchy cho từng ngoặc ta có điều phải cm do mnp=1.

Đặt A=x²+5y²-2xy+y+2005

=(x²-2xy+y²)+(4y²+y+1/16)+32079/16

=(x-y)²+(2y+1/4)²+32079/16

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(2y+\frac{1}{4}\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(2y+\frac{1}{4}\right)^2\ge0}\)

\(\Rightarrow A=\left(x-y\right)^2+\left(2y+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{32079}{16}\ge\frac{32079}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = -1/8

Vậy Amin = 32079/16 khi x=y=-1/8

Đặt A=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)

=(x²-4x-x+4)(x²-3x-2x+6)

=(x²-5x+4)(x²-5x+6)

Đặt x²-5x+5=t (t thuộc Z)

Khi đó A=(t-1)(t+1)=t²-1=(x²-5x+5)²-1

Vì \(\left(x^2-5x+5\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x^2-5x+5\right)^2-1\ge-1\) hay A \(\ge\)-1

Vậy...

chiuj

Nửa chu vi hcn là 28:2=14(m)

Gọi cd hcn là x (m) \(\rightarrow\)cr hcn là 14-x (m)

Áp dụng định lý :Py-ta-go trong tam giác vuông tạo bởi đường chéo và 2 cạnh của hcn,ta có phương trình:

                                       \(x^2+\left(14-x\right)^2=10^2\)

\(\Leftrightarrow\)                 \(x^2+196-28x+x^2=100\)

\(\Leftrightarrow\)                            \(2x^2-28x+96=0\)

\(\Leftrightarrow\)              \(2x^2-16x-12x+96=0\)

\(\Leftrightarrow\)          \(2x\left(x-8\right)-12\left(x-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)                      \(\left(x-8\right)\left(2x-12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)                 \(\hept{\begin{cases}x-8=0\\2x-12=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)                   \(\hept{\begin{cases}x=8\\x=6\end{cases}}\)

Với x=8 \(\rightarrow\)cd hcn là 8m.Cr hcn là : 14-8=6(m) \(\rightarrow\)thỏa mãn

Với x=6\(\rightarrow\)cd hcn là 6m.Cr hcn là : 14-6=8(m) \(\rightarrow\)vô lý vì cr ko thể lớn hơn cd

Vậy : Cd hcn là 8m

          Cr hcn là 6m

\(A=x^3-8-\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+3\left(x^2-1\right)\)

     \(=x^3-8-x^3-3x^2-3x-1+3x^2-3\)

     \(=\left(x^3-x^3\right)+\left(-3x^2+3x^2\right)-3x-8-3\)

        \(=-3x-11\)