A = a(b² + c²) + b(a² + c²) + c(a² + b²) + 3abc

= ab² + ac² + a²b + bc² + a²c + b²c + 3abc

= (ab² + a²b + abc) + (a²c + ac² + abc) + (b²c + bc² + abc)

= ab(a + b + c) + ac(a + c + b) + bc(b + c + a)

= (a + b + c)(ab + ac + bc)

a) Do ABCD là hình thang vuông tại A có hai đáy là AB và CD (gt)

⇒ AD ⊥ CD

⇒ AD ⊥ AE

∆ADE vuông tại D

⇒ AE² = AD² + DE² (Pythagore)

= 4² + 3²

= 25

⇒ AE = 5 (cm)

b) Vẽ BF ⊥ CD tại F

ABFD có:

∠BAD = ∠ADF = ∠BFD = 90⁰

⇒ ABFD là hình chữ nhật

⇒ BF = AD = 4 (cm)

∆BFC vuông tại F

⇒ BC² = BF² + FC² (Pythagore)

⇒ FC² = BC² - BF²

= 5² - 4²

= 9

⇒ FC = 3 (cm)

⇒ DF = CD - FC

= 8 - 3

= 5 (cm)

⇒ AB = DF = 5 (cm)

CE = CD - DE

= 8 - 3

= 5 (cm)

Xét ∆ACE và ∆CAB có:

AC là cạnh chung

AE = BC = 5 (cm)

CE = AB = 5 (cm)

⇒ ∆ACE = ∆CAB (c-c-c)

⇒ ∆ACE ∽ ∆CAB (c-c-c)

c) Xét tứ giác ABCE có:

AB = CE = 5 (cm)

BC = AE = 5 (cm)

⇒ ABCE là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau)

d) AB = 5 (cm) (cmt)

Diện tích hình thang ABCD:

  = 26 (cm²)

\(22\cdot321+22\cdot456+11\cdot446\)

\(=22\cdot\left(321+456\right)+22\cdot223\)

\(=22\cdot777+22\cdot223=22\cdot1000=22000\)

22000

\(x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+3\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-5=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm pt là: \(S=\left\{5;-3\right\}\)

x(x-5)+3(x-5)=0

=>(x-5)(x+3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-5=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\)

\(2x^3+10x^2=0\)

=>\(2x^2\left(x+5\right)=0\)

=>\(x^2\left(x+5\right)=0\)(Vì 2>0)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x^2=0\\x+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.\)

\(2x^3+10x^2=0\Leftrightarrow x^2\left(2x+10\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.\)

`x^2-6x=0`

`<=>x(x-6)=0`

TH1: `x =0 `

TH2: `x - 6=0<=>x=6`

Vậy: ... 

\(x^2-6x=0\Leftrightarrow x\left(x-6\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=6\end{matrix}\right.\)

\(A=x^4-xy^3-x^3y-3x^2y+3xy^2+y^4\\ =\left(x^4-x^3y\right)-\left(xy^3-y^4\right)-\left(3x^2y-3xy^2\right)\\ =x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)-3xy\left(x-y\right)\\ =x^3-y^3-3xy\\ =\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-3xy\\ =x^2+xy+y^2-3xy\\ =x^2-2xy+y^2\\ =\left(x-y\right)^2\\ =1^2=1\)

A = x⁴ − xy³ − x³y − 3x²y  + 3xy² + y⁴

= (x⁴ − x³y) + (−xy³ + y⁴) + (−3x²y + 3xy²)

= x³(x − y) − y³(x − y) − 3xy(x − y)

= (x − y)(x³ − y³ − 3xy)

= (x − y)[(x³ − y³) − 3xy]

= (x − y)[(x − y)(x² + xy + y²) − 3xy]

= 1.[1.(x² + xy + y²) − 3xy]

= x² + xy + y² − 3xy

= x² − 2xy + y²

= (x − y)²

= 1²
= 1

Lời giải:

Do $x+y+z=1, x,y,z\geq 0$ nên $0\leq x, y, z\leq 1$.
Ta sẽ cm $\sqrt{5x+4}\geq x+2(*)$

Thật vậy:

BĐT $(*)\Leftrightarrow 5x+4\geq (x+2)^2$

$\Leftrightarrow 5x+4\geq x^2+4x+4$

$\Leftrightarrow x\geq x^2\Leftrightarrow x(1-x)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $0\leq x\leq 1$)

$\Rightarrow$ BĐT $(*)$ luôn đúng.

Hoàn toàn tương tự:

$\sqrt{5y+4}\geq y+2; \sqrt{5z+4}\geq z+2$

Cộng các BĐT trên theo vế và thu gọn:

$\sqrt{5x+4}+\sqrt{5y+4}+\sqrt{5z+4}\geq x+y+z+6=1+6=7$

Vậy $A_{\min}=7$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(0,0,1)$ và hoán vị.