a/ Ta có 

\(\widehat{ADI}=\widehat{AKI}=90^o\)

=> D và K cùng nhìn AI dưới 1 góc \(90^o\) => D; K thuộc đường tròn đường kính AI => A; D; K; I cùng thuộc một đường tròn

b/ Xét tg vuông DAH và tg vuông ABC có

\(\widehat{DAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

=> tg DAH đồng dạng với ABC (g.g.g)

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là: \(x\)(m)

=> Chiều dài của hình chữ nhật là: \(1,5x\)(m)

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \(1,5x^2\)(cm²)

=> Diện tích của hình chữ nhật sau khi bớt mỗi chiều 5m là: \(\left(x-5\right)\left(1,5x-5\right)=\left(100-16\right)\%.1,5x^2\)

<=>\(1,5x^2-7,5x-5x+25=84\%.1,5x^2\)

<=>\(75x^2-625x+1250=63x^2\)

<=>\(12x^2-625x+1250=0\)

<=> \(\left(12x-25\right)\left(x-50\right)=0\)

=> Ta có hệ sau: \(\left\{{}\begin{matrix}12x-25=0\\x-50=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{25}{12}\left(loại\right)\\x=50\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Chiều rộng của hình chữ nhật là: 50m

        Chiều dài của hình chữ nhật là: \(50.1,5=75\)m

\(1h40'\)=\(\dfrac{5}{3}h\)

Gọi vận tốc xe thứ nhất là \(x\)(km/h)
=> Vận tốc xe thứ hai là: \(x-15\)(km/h)

Theo bài ra, ta có:

\(\dfrac{300}{x}=\dfrac{300}{x-15}-\dfrac{5}{3}\)

=> Có: \(\left(x+45\right)\left(x-60\right)=0\)

=> Ta có hệ sau: \(\left\{{}\begin{matrix}x+45=0\\x-60=0\end{matrix}\right.\)=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-45\left(loại^{ }do^{ }x\ne0\right)\\x=60\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: v_{xe thứ nhất} là: 60km/h

        v_{xe thứ hai} là: 60 - 15 = 45km/h

Trước hết ta có:

\(\dfrac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{ac}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)

\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)+b^2c-a^2c+ac^2-bc^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\dfrac{ab\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(ab-ac-bc+c^2\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left[a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)

Do đó:

\(\left(\dfrac{a}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c-a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a-b}\right)^2-2+2\)

\(=\left(\dfrac{a}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c-a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a-b}\right)^2+2\left(\dfrac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{ac}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right)+2\)

\(=\left(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)^2+2\ge2\) (đpcm)

\(y+z=-x\Rightarrow\left(y+z\right)^3=-x^3\)

\(\Rightarrow y^3+z^3+3yz\left(y+z\right)=-x^3\)

\(\Rightarrow P=x^3+y^3+z^3=3xyz\)

- Nếu trong 3 số có 1 số bằng 0 thì \(P=0>-6\) (thỏa mãn)

- Nếu cả 3 số đều khác 0:

Do \(x+y+z=0\) nên trong 3 số phải có ít nhất 1 số âm và 1 số dương

Vai trò 3 biến như nhau, ko mất tính tổng quát giả sử \(x\le y\le z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z>0\\x< 0\end{matrix}\right.\)

+ Nếu \(y< 0\Rightarrow xyz>0>-6\) (thỏa mãn)

+ Nếu \(y>0\), BĐT cần c/m tương đương: \(\left(-x\right).yz\le2\) với \(0< \left(-x\right)\le2\)

AM-GM: \(\left(-x\right).yz\le\dfrac{1}{4}.\left(-x\right).\left(y+z\right)^2=\dfrac{1}{4}.\left(-x\right)^3\le\dfrac{1}{4}.2^3=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(x;y;z\right)=\left(-2;1;1\right)\) và các hoán vị

a.

Từ giả thiết \(\Rightarrow AE=AB\) (cùng là bán kính của (A;AB))

Mà \(AB=DC\Rightarrow AE=DC\)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(CK=BC=AD\)

\(\Delta ABE\) cân tại A, \(\Delta CBK\) cân tại C \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABE}=\widehat{AEB}\\\widehat{CBK}=\widehat{CKB}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{ABE}=\widehat{CBK}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{EAB}=\widehat{KCB}\)

Lại có \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\) (hai góc đối hbh)

\(\Rightarrow\widehat{EAD}=\widehat{DCK}\)

Xét hai tam giác EAD và DCK có: \(\left\{{}\begin{matrix}AE=DC\left(cmt\right)\\\widehat{EAD}=\widehat{DCK}\left(cmt\right)\\AD=CK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta EAD=\Delta DCK\left(c.g.c\right)\Rightarrow DE=DK\)

b.

Do \(\left\{{}\begin{matrix}AB||CD\\AD=CK\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ADCK\) là hình thang cân

\(\Rightarrow\) ADCK nội tiếp (1)

Đồng thời ta có \(\widehat{ACD}=\widehat{KDC}\)

Mà \(\Delta EAD=\Delta DCK\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{KDC}=\widehat{DEA}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{DEA}\)

\(\Rightarrow AECD\) nội tiếp (2 góc bằng nhau cùng chắn cung AD) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow A,D,C,K,E\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(A=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{25}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{5}{3}\)

Do \(1\le x;y;z\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\\\left(y-1\right)\left(y-2\right)\le0\\\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le3x-2\\y^2\le3y-2\\z^2\le3z-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\le3\left(x+y+z\right)-6=9\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;2\right)\) và các hoán vị

\(B\ge\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{125}{9}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\dfrac{5}{3}\)

Do \(1\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)\le0\)

\(\Rightarrow x^3\le7x-6\)

Tương tự: \(y^3\le7y-6\) ; \(z^3\le7z-6\)

Cộng vế: \(B\le7\left(x+y+z\right)-18=17\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(1;2;2\right)\) và các hoán vị

a/

Ta có

AE = HE; BF = HF (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

=> AE + BF = HE + HF = EF (dpcm)

b/ Gọi P; K; Q lần lượt là giao của OE; OM; OF với (O)

Ta có

sđ cung PA = sđ cung PH (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm chia đôi cung chắn bởi 2 tiếp điểm)

sđ cung QB = sđ cung QH (lý do như trên)

=> sđ cung PH + sđ cung QH = sđ cung PA + sđ cung QB

=> sđ cung APH = sđ cung BQH

Mà sđ cung APH + sđ cung BQH = sđ cung AKB

=> sđ cung APH = sđ cung BQH = \(\dfrac{sđcungAKB}{2}\) (1)

Ta có

sđ cung KA = sđ cung KB (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm chia đôi cung chắn bởi 2 tiếp điểm)

Mà sđ cung KA + sđ cung KB = sđ cung AKB

=> sđ cung KA = sđ cung KB = \(\dfrac{sđcungAKB}{2}\) (2)

Ta có

\(sđ\widehat{MOA}=sđcungKA=\dfrac{sđcungAKB}{2}\) (góc ở tâm đường tròn) (3)

\(sđ\widehat{FOE}=sđcungPHQ=sđcungPH+sđcungQH=\dfrac{sđcungAKB}{2}\) (góc ở tâm đường tròn) (4)

Từ (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow\widehat{MOA}=\widehat{FOE}\)