Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có ab > 2013a + 2014b <=> 1 > 2013/b + 2014/a (vì a,b >0 )
\(\Leftrightarrow a+b>\frac{2013\left(a+b\right)}{b}+\frac{2014\left(a+b\right)}{a}=2013+2014+\frac{2013a}{b}+\frac{2014b}{a}\)
Mà \(\frac{2013a}{b}+\frac{2014b}{a}\ge2\sqrt{2013\cdot2014}\)
\(\Rightarrow a+b>2013+2014+2\sqrt{2013\cdot2014}=\left(\sqrt{2013}+\sqrt{2014}\right)^2\)
=> đpcm
Tích cho mk nhoa !!!! ~~~
Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{4abc}=\frac{3}{4}+\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{4abc}\)
\(=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(\ge\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\ge\frac{9}{ab+ac+bc}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{4abc}\ge\frac{9}{4}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\right)-\frac{3}{2}\left(1\right)\)
Lại có:\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{30\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)}{30\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(=\frac{1}{30}+\frac{1}{15}\left(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\right)\left(2\right)\).Từ (1);(2) có:
\(P=\frac{1}{30}-\frac{3}{2}+\frac{1}{5}\left(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\right)+\frac{9}{4}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{1}{15}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}-22\right)\ge-\frac{4}{3}\)
đề thi hsg toán lớp 9 tỉnh thanh hóa năm 2016-2017 mà
Ta có :
\(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}\)
\(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall b\ge0\Rightarrow b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)
a)
\(3+2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+1=\left(\sqrt{2}^2\right)+2\times\sqrt{2}\times1=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)
mấy câu còn lại tương tự
cho a;b;c là các số thực dương.CMR:\(a\sqrt{a^2+3bc}+b\sqrt{b^2+3ca}+c\sqrt{c^2+3ab}\ge2ab+2bc+2ca\)
biếng làm nên đưa link Cộng Đồng MathVn - Diễn đàn thảo luận: Chứng minh BĐT
bất đẳng thức chứa căn..... - Diễn Đàn MathScope
$a\sqrt{a^2+3bc}+b\sqrt{b^2+3ca}+c\sqrt{c^2+3ab}\geq 2(ab+bc+ca)$ - Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức - Diễn đàn Toán học
