Lời giải:

\(F(x)=\int (e^x+2x)dx=e^x+x^2+C\)

\(F(0)=e^0+0^2+C=\frac{3}{2}\Rightarrow C=\frac{1}{2}\)

Vậy $F(x)=e^x+x^2+\frac{1}{2}$

Đặt \(x^2=t\Rightarrow x.dx=\dfrac{1}{2}dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=1\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)

\(I=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0e^tdt=\dfrac{1}{2}e^t|^1_0=\dfrac{e-1}{2}\)

bạn giúp mk cái câu hình để mk học cách trình bày với, plz...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\dfrac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=-\dfrac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(I=-\dfrac{lnx}{x}|^a_1+\int\limits^a_1\dfrac{dx}{x^2}=-\dfrac{lna}{a}-\dfrac{1}{x}|^a_1=-\dfrac{lna}{a}-\dfrac{1}{a}+1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{lna}{a}=\dfrac{ln2}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=2\)

Phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc \(\overrightarrow{a}\) có dạng:

\(4\left(x-1\right)+2\left(y-1\right)-1\left(z+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4x+2y-z-8=0\)

Gọi B là giao điểm (P) và \(\Delta\Rightarrow\) tọa độ B thỏa mãn:

\(4\left(2-t\right)+2\left(3+2t\right)-\left(1+3t\right)-8=0\) \(\Rightarrow t=\dfrac{5}{3}\) \(\Rightarrow B\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{19}{3};6\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{16}{3};8\right)=\dfrac{2}{3}\left(-1;8;12\right)\)

Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-t\\y=1+8t\\z=-2+12t\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(0;-2;7\right)\Rightarrow R^2=IA^2=53\)

Phương trình:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+3\right)^2=53\)

\(z^2-2z+13=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z_1=1-2\sqrt{3}i\\z_2=1+2\sqrt{3}i\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=2\left[1^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2\right]=26\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\dfrac{1}{x^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=-\dfrac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(I=-\dfrac{lnx}{x}|^a_1+\int\limits^a_1\dfrac{dx}{x^2}=-\dfrac{lna}{a}-\dfrac{1}{a}+1\Rightarrow1-\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=2\)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(2x-x^2=x\Leftrightarrow x-x^2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

Thể tích:

\(V=\pi\int\limits^1_0\left[x^2-\left(2x-x^2\right)^2\right]dx=\dfrac{\pi}{5}\)