Với a, b, c là các số dương, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}=\frac{a+b+c}{a+3b+b+3c+c+3a}=\frac{a+b+c}{4a+4b+4c}=\frac{a+b+c}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}\le\frac{3}{4}\)

Ta có: \(\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}\le\frac{3}{4}\)(*)

\(\Leftrightarrow3ba+3b+\frac{3c}{b+3c}+\frac{3a}{c+3a}\le\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow1-3ba+3b+1-\frac{3c}{b+3c}+1-\frac{3a}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - swarch có

\(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}=\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ac}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}\)

Ta sẽ chứng minh : \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}\ge\frac{3}{4}\left(1\right)\)

Từ (1) \(\Leftrightarrow4\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(đúng)

Vậy (*) đúng

\(\sqrt{a+2016}\)- \(\sqrt{a+2013}\) = (\(\sqrt{a+2016}\)- \(\sqrt{a+2013}\))  . (\(\sqrt{a+2016}+\)\(\sqrt{a+2013}\)) / \(\sqrt{a+2016}+\)\(\sqrt{a+2013}\)[ nhân cả tử và mẫu với (\(\sqrt{a+2016}+\)\(\sqrt{a+2013}\)), (mẫu cũ =1) ]

= (a+2016)-(a+2013)/\(\sqrt{a+2016}+\)\(\sqrt{a+2013}\)

k mk nha

\(\frac{\left(a+2016\right)-\left(a+2013\right)}{\sqrt{a+2016}+\sqrt{a+2013}}\)\(=\frac{\left(\sqrt{a+2016}\right)^2-\left(\sqrt{a+2013}\right)^2}{\sqrt{a+2016}+\sqrt{a+2013}}=\frac{\left(\sqrt{a+2016}+\sqrt{a+2013}\right)\left(\sqrt{a+2016}-\sqrt{a-2013}\right)}{\sqrt{a+2016}+\sqrt{a+2013}}\)

\(=\sqrt{a+2016}-\sqrt{a+2013}\)

A C B H F G D E J

a) Do AB là tiếp tuyến của đường tròn tại B nên theo đúng định nghĩa, ta có \(OB\perp BA\Rightarrow\widehat{OBA}=90^o\)

Vậy tam giác ABO vuông tại B.

Xét tam giác vuông OAB, áp dụng định lý Pi-ta-go ta có : 

\(AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

b) Ta có BC là dây cung, \(OH\perp BC\) 

Tam giác cân OBC có OH là đường cao nên nó cũng là tia phân giác góc COB.

Xét tam giác OCA và OBA có: 

OC = OB ( = R)

OA chung

\(\widehat{COA}=\widehat{BOA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta OCA=\Delta OBA\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OBA}=90^o\). Vậy CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C.

c) Ta có BC là dây cung, OH vuông góc BC nên theo tính chất đường kính dây cung ta có H là trung điểm BC.

Xét tam giác vuông OBA có BH là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(HB.OA=OB.BA\Rightarrow HB=\frac{R.R\sqrt{3}}{2R}=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)

Vậy thì BC = 2HB = \(R\sqrt{3}\)

Do \(\Delta OCA=\Delta OBA\Rightarrow CA=BA\)

Xét tam giác ABC có \(AB=BC=CA=R\sqrt{3}\) nên nó là tam giác đều.

d) Gọi G là trung điểm của CA; J là giao điểm của AE và HD, F' là giao điểm của AE và OB

Ta cần chứng minh F' trùng F.

Dễ thấy HD // OB; HG // AB mà \(AB\perp OB\Rightarrow HD\perp GH\) hay D là tiếp tuyến của đường tròn tại H.

Từ đó ta có : \(\widehat{EHJ}=\widehat{EAJ}\)  

Vậy thì \(\Delta HEJ\sim\Delta AHJ\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{EJ}{HJ}=\frac{HJ}{AJ}\Rightarrow HJ^2=EJ.AJ\)

Xét tam giác vuông JDA có DE là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(JD^2=JE.JA\)

Vậy nên HJ = JD.

Áp dụng định lý Ta let trong tam giác OAB ta có:

Do HD // OB nên \(\frac{HJ}{OF'}=\frac{JD}{F'B}\left(=\frac{AJ}{AF'}\right)\)

Mà HJ = JD nên OF' = F'B hay F' là trung điểm OB. Vậy F' trùng F.

Từ đó ta có A, E, F thẳng hàng.

dài vậy 😅😅😅

https://h oc 24 .vn/bg/batdangthucamgm/

A lot of rice is grown in Mekong delta

mk đc giải nhất HSG Huyện môn Anh nên chắc chắn 100%

A lot of rice are grown in Mekong delta

@_@

^^

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số không âm, ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\)

\(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\)

\(\frac{x}{y}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\)

công vế vs vế vs vế :\(2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge2\left(\sqrt{\frac{x}{z}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{z}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{y}{z}}\le1\)