Bài 5:

a: Thay x=1 vào (P), ta được:

\(y=-1^2=-1\ne-2=y_M\)

Vậy: M(1;-2) không thuộc (P)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-x^2=\left(m-2\right)x-m\)

=>\(x^2+\left(m-2\right)x-m=0\)

\(\text{Δ}=\left(m-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)\)

\(=m^2-4m+4+4m=m^2+4>0\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\left(m-2\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2-x_1+x_2^2-x_2=2\)

=>\(\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1+x_2\right)=2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=2\)

=>\(\left(m-2\right)^2-2\left(-m\right)-\left(-m+2\right)=2\)

=>\(m^2-4m+4+2m+m-2=2\)

=>\(m^2-m=0\)

=>m(m-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\)

Bài 4:

a: Thay x=1 và y=-2 vào (d), ta được:

\(m\cdot1-m+1=-2\)

=>1=-2(vô lý)

=>\(m\in\varnothing\)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=mx-m+1\)

=>\(x^2-mx+m-1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\cdot1\left(m-1\right)\)

\(=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>(m-2)^2>0

=>\(m-2\ne0\)

=>\(m\ne2\)

Theo Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

\(y_1+y_2=x_1+x_2\)

=>\(x_1^2+x_2^2=x_1+x_2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=0\)

=>\(m^2-2\left(m-1\right)-m=0\)

=>\(m^2-3m+2=0\)

=>(m-2)(m-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\left(loại\right)\\m=1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi thời gian làm một mình xong việc của người thứ nhất là x ngày và người thứ hai là y ngày (x;y>0)

Trong 1 ngày người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) phần công việc và người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{y}\) phần công việc

Do 2 người làm chung 12 ngày xong việc nên ta có pt:

\(12\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\)

Do hai người làm chung 4 ngày sau đó người thứ hai làm 1 mình trong 10 ngày thì xong việc nên:

\(4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{10}{y}=1\Leftrightarrow\dfrac{4}{x}+\dfrac{14}{y}=1\)

Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{14}{y}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{60}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{15}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=60\\y=15\end{matrix}\right.\)

Vậy người thứ nhất làm 1 mình trong 60 ngày thì xong việc

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc khi làm một mình là x(ngày)

Gọi thời gian người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình là y(ngày)

(ĐK: x>0; y>0)

Trong 1 ngày, người thứ nhất làm được: \(\dfrac{1}{x}\)(công việc)

Trong 1 ngày, người thứ hai làm được: \(\dfrac{1}{y}\)(công việc)

Trong 1 ngày, hai người làm được \(\dfrac{1}{12}\)(công việc)

Do đó, ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\left(1\right)\)

Trong 4 ngày, người thứ nhất làm được: \(4\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{x}\)(công việc)

Trong 4+10=14 ngày, người thứ hai làm được: \(14\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{14}{y}\)(công việc)

Nếu hai người làm chung trong 4 ngày, người thứ nhất chuyển đi chỗ khác và người thứ hai hoàn thành phần còn lại trong 10 ngày thì ta có phương trình:

\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{14}{y}=1\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{14}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{14}{x}+\dfrac{14}{y}=\dfrac{14}{12}=\dfrac{7}{6}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{14}{y}=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{10}{x}=\dfrac{7}{6}-1=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=60\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{60}=\dfrac{1}{15}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=60\\y=15\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: NGười thứ nhất cần 60 ngày để hoàn thành công việc khi làm một mình

Bài 2:

a: \(x^2-4x+1=0\)

=>\(x^2-4x+4-3=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2-3=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2=3\)

=>\(x-2=\pm\sqrt{3}\)

=>\(x=2\pm\sqrt{3}\)

b: \(x^2-\sqrt{5}\cdot x-5=0\)

\(\text{Δ}=\left(-\sqrt{5}\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-5\right)=5+20=25>0\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{25}}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-5}{2}\\x_2=\dfrac{\sqrt{5}+5}{2}\end{matrix}\right.\)

c: \(x^2-2\sqrt{5}\cdot x+1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2\sqrt{5}\right)^2-4\cdot1\cdot1=20-4=16>0\)

Do đó; Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-\left(-2\sqrt{5}\right)-4}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}-4}{2}=\sqrt{5}-2\\x_2=\sqrt{5}+2\end{matrix}\right.\)

d: \(2x^2-2\sqrt{3}\cdot x-\dfrac{1}{2}=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\cdot2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=12+4=16>0\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2\sqrt{3}-4}{4}=\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}\\x_2=\dfrac{2\sqrt{3}+4}{4}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài 3:

1: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=6x-5\)

=>\(x^2-6x+5=0\)

=>(x-1)(x-5)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=5\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 vào y=6x-5, ta được:

\(y=6\cdot1-5=1\)

Thay x=5 vào y=6x-5, ta được:

\(y=6\cdot5-5=25\)

Vậy: Tọa độ giao điểm là A(1;1); B(5;25)

2: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=-x+6\)

=>\(x^2+x-6=0\)

=>(x+3)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=2\end{matrix}\right.\)

Thay x=-3 vào y=-x+6, ta được:

y=-(-3)+6=9

Thay x=2 vào y=-x+6, ta được:

y=-2+6=4

Vậy: Tọa độ giao điểm là C(-3;9); B(2;4)

1: Thay x=36 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{36-3\cdot4+16}{4-3}=\dfrac{52-12}{1}=40\)

2: \(B=\dfrac{2x-4\sqrt{x}+6}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{2x-4\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{2x-4\sqrt{x}+6-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\cdot\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{2x-4\sqrt{x}+6-x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\cdot\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x-5\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}\)

3: \(P=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{x-3\sqrt{x}+16}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}+16}{\sqrt{x}}\)

\(=\sqrt{x}-3+\dfrac{16}{\sqrt{x}}\)

\(=\sqrt{x}+\dfrac{16}{\sqrt{x}}-3>=2\cdot\sqrt{\sqrt{x}\cdot\dfrac{16}{\sqrt{x}}}-3=5\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{x}^2=16\)

=>x=16

a) 

b) Ta phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2x^2=2x+\sqrt{m}\left(m\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2x-\sqrt{m}=0\)

Để (P) và (d) cắt nhau ở hai điểm phân biệt thì\(\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow\left(-2\right)^2-4\cdot2\cdot-\sqrt{m}>0\)

\(\Leftrightarrow4+8\sqrt{m}>0\forall m\)

Vậy \(m\ge0\)

ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne4\)

\(P=\left(\dfrac{4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right).\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{4+\sqrt{x}-2+x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right).\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\dfrac{\left(x+3\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\)

b.

\(P=\dfrac{\sqrt{x}-2+4}{\sqrt{x}-2}=1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\)

P nguyên lớn nhất khi \(\sqrt{x}-2\) là số nguyên dương nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2=1\Rightarrow\sqrt{x}=3\)

\(\Rightarrow x=9\)

a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x\notin\left\{4\right\}\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\left(\dfrac{4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\cdot\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{4+\sqrt{x}-2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2+\left(\sqrt{x}+2\right)\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=1\)

b: Với mọi x nguyên thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x\ne4\end{matrix}\right.\) thì P luôn bằng 1

Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là: \(x\left(km/h\right)\)

     vận tốc của ô tô thứ hai là: \(y\left(km/h\right)\) 

ĐK: \(x;y>0\)

Ô tô thứ nhất nhanh hơn ô tô thứ hai 10km/h nên ta có pt: \(x-y=10\left(1\right)\)

Thời gian ô tô thứ nhất đi là: \(\dfrac{120}{x}\left(h\right)\) 

Thời gian ô tô thứ hai đi là: \(\dfrac{120}{y}\left(h\right)\)

Ô tô thứ nhất đến B sớm hơn ô tô thứ hai `2/3(h)` ta có phương trình:

\(\dfrac{120}{y}-\dfrac{120}{x}=\dfrac{2}{3}\left(2\right)\) 

Từ (1) và (2) ta có hpt: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=10\\\dfrac{120}{y}-\dfrac{120}{x}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+10\\\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{180}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+10\\\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y+10}=\dfrac{1}{180}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+10\\y\left(y+10\right)=1800\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+10\\y^2+10y-1800=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=38+10=48\\y\approx38\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy: ... 

help

\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=m^2+m\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)y=m^2-2m+1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=m+1-my\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=m+1-\dfrac{m^2-m}{m+1}=\dfrac{m^2+2m+1-m^2+m}{m+1}=\dfrac{3m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Thay vào bth ta được \(\left(\dfrac{3m+1}{m+1}\right)^2-\left(\dfrac{m-1}{m+1}\right)^2=4\)đk m khác -1 

\(\Leftrightarrow\dfrac{3m+1-m+1}{m+1}.\dfrac{3m+1+m-1}{m+1}=4\)

\(\Leftrightarrow2.\dfrac{4m}{m+1}=4\Leftrightarrow4m=2m+2\Leftrightarrow m=1\)(tm) 

Vậy có 1 giá trị tham số m