a) Ta có \(A=a^3-6a^2-7a+12=\left(a-1\right)\left(a^2-5a+12\right)=\left(a-1\right)\left(a^2-5a+6\right)+6\left(a-1\right)\)

=\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a-3\right)+6\left(a-1\right)\)

Mà (a-1)(a-2)(a-3) là tích 3 số nguyên liên tiếp => cúng chia hết cho 6 => ... chia hết cho 6(ĐPCM)

^_^

Có ai kg giúp mình bài này với

\(BĐT\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc\)

\(+\sqrt[3]{abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)}\)

Đặt \(P=\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\ge\left(\text{ Σ}_{cyc}ab\sqrt{ab}\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}\)(1)

Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(bc^2+ca^2+ab^2\right)\ge\left(3abc\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge3abc\)(2)

Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ca^2+b^2a+c^2b\right)\ge\left(\text{Σ}_{cyc}a^2\sqrt{bc}\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}\)(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(3P\ge3abc+\left[\text{Σ}_{cyc}\left(a^2\sqrt{bc}+bc\sqrt{bc}\right)\right]\)

Sử dụng một số phép biến đổi và bđt Cô - si cho 3 số , ta được:

\(3P\ge3abc+3\sqrt[3]{abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge abc+\sqrt[3]{abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)}\)

hay \(\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\)

\(\ge abc+\sqrt[3]{abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)}\)

Dấu "=" khi a = b = c > 0

P/S: Không biết đúng không nữa, chưa check lại

ko biết

Ta cần chứng minh nếu a,b,c đôi một khác nhau và a³+b³+c³=3abc thì a+b+c=0

Ta có: a³+b³+c³=3abc

<=> a³+b³+c³-3abc=0

<=> (a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc=0

<=> (a+b+c)(a²+b²+c²+2ab-ca-bc)-3ab(a+b+c)=0

<=> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0

\(=>\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)

• a²+b²+c²-ab-bc-ca=0

<=> 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0

<=> (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0=> a=b=c

Mà a,b,c đôi một khác nhau nên vô lí

Do vậy nên a+b+c=0

Áp dụng bài toán chứng minh trên vào a³b³+b³c³+c³a³=3a²b²c² ta có ab+bc+ca=0

\(=>\hept{\begin{cases}bc+ca=-ab\\ca+ab=-bc\\ab+bc=-ac\end{cases}=>\hept{\begin{cases}c\left(a+b\right)=-ab\\a\left(b+c\right)=-bc\\b\left(c+a\right)=-ac\end{cases}}}\)

Với a,b,c khác 0 ta có

\(A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}=\frac{c\left(a+b\right)}{bc}.\frac{a\left(b+c\right)}{ca}.\frac{b\left(c+a\right)}{ab}=\frac{-ab}{bc}.\frac{-bc}{ca}.\frac{-ca}{ab}=-1\)

Vậy A=-1

đường tròn nội típ của một tam giác vuông sẽ có đường kinh bằng cạnh huyền của tam giác vuông ý nhé :D

CM:

Gọi △ABC△ABC vuông tại A

Gọi M là trung điểm của AC

vẽ đường thẳng Md⊥ABMd⊥AB cắt BC tại H

dể dang cm được MHMH là đường trung bình =>BH=HC=>BH=HC

hay đường trung trực của BC cắt BC tại H

=> H là giao điểm của 3 đường trung trực △ABC△ABC

=>=> đường tròn nội típ △ABC△ABC có bán kính là BHBH hay HCHC

=>BC=82+152−−−−−−−√=17=>BC=82+152=17

=>BH=r=8,5

p/s : kham khảo

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thường sẽ là:

\(R=\frac{abc}{4S}\)

Trong đó:

• R là bán kính
• a,b,c là số đo các cạnh tam giác thường
• S là diện tích tam giác

Ngoài ra, đối với đa giác đều có độ dài mỗi cạnh là a, ta có công thức tính
bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác sẽ là:

\(R=\frac{a}{2}\left(\frac{\sin180^o}{n}\right)\)