1.nhan xet

voi a thuoc Z

\(\left[\sqrt{a^2}\right]=\left[\sqrt{a^2+1}\right]=...=\left[\sqrt{a^2+2a}\right]\)

do do\(\left[\sqrt{a^2}\right]+\left[\sqrt{a^2+1}\right]+...+\left[\sqrt{a^2+2a}\right]=\frac{2a\left(2a+1\right)}{2}=a\left(2a+1\right)\)

thay a=1 cho den 10 

tu tinh ra 825

2. voi a1,a2,a3 duong nhân từng vế của hai phương trình\(\left(a_1+a_2+a_3\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}\right)=9\)

áp dụng phương pháp bdt không chặt thì pt trên xảy ra <=>\(a_1=a_2=a_3=1\)

1.

tu pt 2 ta co

dk: y(y+1) khac 0

x(x+1)=72/y(y+1)

the vao 1 ta co 

\(\frac{72}{y\left(y+1\right)}+y\left(y+1\right)=18\)

<=>\(y^2\left(y+1\right)^2-18y\left(y+1\right)+81-9=0\)

<=>\(\left[y\left(y+1\right)-9\right]^2=3\)

tu giai tiep

Dễ k cho mình trước mình làm cho

Cho a,b,c là các số dương đôi một khác nhau. Giải hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}x^2-yz=a\\y^2-zx=b\\z^2-xy=c\end{cases}}\)

Có : x^2+y^2+z^2 >= xy+yz+zx

<=> 3xyz >= xy+yz+zx

Chia cả 2 vế bpt cho xyz được :

3 >= 1/x + 1/y + 1/z

Lại có : (x+y+z).(1/x+1/y+1/z) >= 9 => x+y+z >= 3

Xét : x^2/y+2 + y+2/9 + x/3 >= \(3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y+2}.\frac{y+2}{9}.\frac{x}{3}}\)  =  x

Tương tự : y^2/z+2 + z+2/9 + y/3 >= y

                  z^2/x+2 + x+2/9 + z/3 >= z

=> x^2/y+2 + y^2/z^2 + z^2/x+2 >= x+y+z - x+2/9 - y+2/9 - z+2/9 - x/3 - y/3 - z/3

                                                  = 5/9.(x+y+z) - 2/3

                                                >= 5/9 . 3 - 2/3 = 1

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

Tk mk nha

\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\ge1\)(*)

có \(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+2}\cdot\frac{y+2}{9}}=\frac{2}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{y+2}\ge\frac{6x-y-2}{9}\)

tương tự có \(\frac{y^2}{z+2}\ge\frac{6y-z-2}{9};\frac{z^2}{x+2}\ge\frac{6z-x-2}{9}\)

Đặt vế trái cả (*) là P. Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được \(P\ge\frac{5\left(x+y+z\right)-6}{9}\)

Lại có \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\ge3xyz,x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)

từ giả thiết suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\ge\frac{1}{3}\left(x+y+\right)^2\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

Do đó P>=1