Chứng minh tổng sau không là số nguyên
\(B=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2n+1}\left(n\in N,n\ge1\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)(1)
Ta có: \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)
Vì \(x^2+y^2\)và x+y là các số nguyên => 2xy là số nguyên
\(x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)-2x^2y^2\)
Vì \(x^4+y^4,x^2+y^2\)là các số nguyên => \(2x^2y^2\)là số nguyên
=> \(\frac{1}{2}\left(2xy\right)^2\)là số nguyên=> \(\left(2xy\right)^2⋮2\)mà 2 là số nguyên tố => 2xy chia hết cho 2=> xy là số nguyên (2)
Từ (1), (2) và x+y là số nguyên
=> x^3+y^3 cũng là số nguyên.
\(A=\left(\frac{\left(1-x\right)\left(x-1\right)-\left(x+3\right)^2}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\right):\left(\frac{\left(x+3\right)^2-\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\right)\)(ĐKXĐ: x khác -3 và 1)
\(=\frac{-x^2+2x-1-x^2-6x-9}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}:\frac{x^2+6x+9-x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)
\(=\frac{-2x^2-4x-10}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}:\frac{8x+8}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)
\(=\frac{-2x^2-4x-10}{8x+8}\)
Mà \(-2x^2-4x-10=-2\left(x+1\right)^2-8< 0\forall x\)
Nên để A < 0 thì \(8x+8>0\Leftrightarrow x>-1\)
Vậy với \(x>-1,x\ne1\)thì A < 0