\(=lim_{x->3^+}\left(\dfrac{5x-6-x^2}{\sqrt{5x-6}+x}\cdot\dfrac{1}{x-3}\right)\)

\(=lim_{x->3^+}\left(\dfrac{-\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{5x-6}+x\right)}\right)\)

\(=lim_{x->3^+}\left(\dfrac{-\left(x-2\right)}{\sqrt{5x-6}+x}\right)\)

\(=\dfrac{-\left(3-2\right)}{\sqrt{5\cdot3-6}+3}=\dfrac{-1}{6}\)

a: BD vuông góc AC

BD vuông góc SO

=>BD vuông góc (SAC)

MN vuông góc SO

MN//BD(SM/SB=SN/SD)

=>MN vuông góc AC

=>MN vuông góc (SAC)

=>(SAC) vuông góc (CMN)

b: SB vuông góc AM; SB vuông góc CM

=>SB vuông góc (MAC)

=>(SBD) vuông góc (MAC)

AC vuông góc BD

AC vuông góc SO

=>AC vuông góc (SDB)

=>(ABCD) vuông góc (SBD)

=>((MAC);(ABCD))=góc SBD=60+45=105 độ

a.

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AB\) là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=\left(SB;\left(ABCD\right)\right)\)

\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\widehat{SBA}\approx35^016'\)

Tương tự \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCA}=\left(SC;\left(ABCD\right)\right)\)

\(AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=1\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\\AB\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow\left(AH;\left(SAD\right)\right)=90^0-\left(AH;AB\right)=90^0-\widehat{HAB}\)

Gọi E là trung điểm AB \(\Rightarrow ADCE\) là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{ACE}=45^0\)

Tam giác BCE vuông cân tại E (do \(EB=EC=a\)) nên \(\widehat{ECB}=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0\) hay \(BC\perp AC\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\) (do \(SA\perp BC\))

\(\Rightarrow BC\perp AH\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp BH\)

Hay tam giác ABH vuông tại H 

\(AH=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=a\)

\(\Rightarrow cos\widehat{HAB}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{HAB}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{HAB}=60^0\Rightarrow\left(AH;\left(SAD\right)\right)=30^0\)

Theo cmt \(BC\perp\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SB;\left(SAC\right)\right)=\widehat{BSC}\)

\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=2a\) ; \(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{BSC}=\dfrac{SC}{SB}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow\widehat{BSC}\approx35^016'\)

\(=\lim\limits\dfrac{\sqrt{2+\dfrac{3}{n^3}-\dfrac{2}{n^4}}}{2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{n^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Tư duy thế này: tổng 2 tấm thẻ sẽ là 1 con số nằm trong khoảng từ \(1+2=3\) đến \(2022+2023=4045\), tổng cộng có \(4045-3+1=4043\) khả năng xảy ra.

Trong đó số khả năng mà tổng 2 số nhỏ hơn 2021 là \(2020-3+1=2021\)

Do việc rút là ngẫu nhiên, nên các kết quả trên có vai trò như nhau, do đó xác suất là:

\(P=\dfrac{2021}{4043}\)

dạ em cảm ơn

a.

Kẻ \(AE\perp SD\) 

Do \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AE\)

\(\Rightarrow AE\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AE=d\left(A;\left(SCD\right)\right)\)

\(AE=\dfrac{SA.AD}{\sqrt{SA^2+AD^2}}=\dfrac{4a\sqrt[]{5}}{5}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AM\cap\left(SCD\right)=C\\MC=\dfrac{3}{4}AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{3}{4}d\left(A;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}MN\cap\left(SCD\right)=S\\NS=\dfrac{1}{2}MS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(N;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(M;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{3a\sqrt{5}}{6}\)

b.

Qua S kẻ tia Sx song song cùng chiều tia DC, trên Sx lấy F sao cho \(SF=DC\)

\(\Rightarrow CDSF\) là hình bình hành \(\Rightarrow CF||SD\Rightarrow\left(SAD\right)||\left(BCF\right)\Rightarrow CD\perp\left(BCF\right)\)

Qua B kẻ \(BG\perp CF\Rightarrow BG\perp\left(SCD\right)\Rightarrow\widehat{BDG}\) là góc giữa BD và (SCD)

SF song song và bằng CD nên SF song song và bằng AB \(\Rightarrow SABF\) là hbh

\(\Rightarrow FB||SA\Rightarrow FB\perp\left(ABCD\right)\) \(\Rightarrow FB\perp BC\)

\(BF=SA=2a\Rightarrow BG=\dfrac{BF.BC}{\sqrt{BF^2+BC^2}}=\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}\) 

 \(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=5a\)

\(\Rightarrow sin\widehat{BDG}=\dfrac{BG}{BD}=\dfrac{4\sqrt{5}}{25}\)

c.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DBA}\) là góc giữa BD và (SAB)

\(tan\widehat{DBA}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow\widehat{DBA}\)

d.

Từ B kẻ \(BH\perp AC\) (H thuộc AC)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BH\)

\(\Rightarrow BH\perp\left(SAC\right)\Rightarrow\widehat{BSH}\) là góc giữa SB và (SAC)

\(BH=\dfrac{AB.BC}{\sqrt{AB^2+BC^2}}=\dfrac{12a}{5}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{BSH}=\dfrac{BH}{SB}=\dfrac{12\sqrt{13}}{65}\Rightarrow\widehat{BSH}\)

c.

Gọi E là trung điểm AD \(\Rightarrow EM\) là đường trung bình tam giác SAD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EM=\dfrac{1}{2}SA=a\\EM||SA\Rightarrow EM\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow EC\) là hình chiếu vuông góc của CM lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{MCE}\) là góc giữa SM và (ABCD)

\(ED=\dfrac{1}{2}AD=a\Rightarrow EC=\sqrt{CD^2+ED^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{MCE}=\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\widehat{MCE}=...\)

e.

Gọi O là trung điểm BD, qua A kẻ đường thẳng song song BD cắt OE kéo dài tại F

\(\Rightarrow ABOF\) là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AF=OB=\dfrac{1}{2}BD\\AF||BD\end{matrix}\right.\)

Lại có MN là đường trung bình tam giác SBD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=\dfrac{1}{2}BD\\MN||BD\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=AF\\MN||AF\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ANMF\) là hình bình hành

\(\Rightarrow AN||MF\Rightarrow\left(AN;CM\right)=\left(AN;MF\right)=\widehat{CMF}\) nếu nó ko tù hoặc bằng góc bù của nó nếu \(\widehat{CMF}\) là góc tù

Ta có: \(MF=AN=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\) ; \(CM=\sqrt{CE^2+EM^2}=a\sqrt{3}\)

ABOF là hình bình hành nên AODF cũng là hình bình hành \(\Rightarrow E\) là tâm hình bình hành

\(\Rightarrow EF=OF=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\)

Gọi G là giao điểm OE và BC \(\Rightarrow FG=EG+EF=a+\dfrac{a}{2}=\dfrac{3a}{2}\)

\(\Rightarrow CF=\sqrt{FG^2+CG^2}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)

ĐỊnh lý hàm cos:

\(cos\widehat{CMF}=\dfrac{CM^2+MF^2-CF^2}{2CM.MF}=\dfrac{\sqrt{15}}{15}\Rightarrow\widehat{CMF}\)

7:

Gọi M la trung điểm của AC

Xét ΔADC co AF/AD=AM/AC

nên FM//DC và FM=1/2DC=a

Xét ΔCAB co CM/CA=CE/CB

nên EM//AB và EM=1/2AB=a

\(cos\left(AB;CD\right)=\left|cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)\right|=\left|cos\left(\overrightarrow{ME};\overrightarrow{MF}\right)\right|\)

\(=\left|cosFME\right|\)

\(=\left|\dfrac{MF^2+ME^2-FE^2}{2\cdot MF\cdot ME}\right|=\left|\dfrac{a^2+a^2-3a^2}{2\cdot a\cdot a}\right|=\dfrac{1}{2}\)

=>cos(AB;CD)=60 độ

a: (SB;(ABC))=(SB;BA)=góc SBA

\(\tan SBA=\dfrac{SA}{AB}=\sqrt{6}\)

=>góc SBA=68 độ

b: (SA;(SBC))=(SA;SB)=góc ASB

tan ASB=AB/SA=1/căn 6

=>góc ASB=22 độ

Do SABCD là chóp tứ giác đều \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

Mà \(M\in AC\Rightarrow M\in\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow BD\perp SM\)

Hay góc giữa hai đường thẳng đã cho là 90 độ