bài 30:

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=x+m\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-x-m=0\)

\(\text{Δ}=\left(-1\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(-m\right)=2m+1\)

Để (d) không có điểm chung với (P) thì Δ<0

=>2m+1<0

=>2m<-1

=>\(m< -\dfrac{1}{2}\)

b: Để (D) có 1 điểm chung với (P) thì Δ=0

=>2m+1=0

=>2m=-1

=>\(m=-\dfrac{1}{2}\)

c: Để (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>2m+1>0

=>2m>-1

=>\(m>-\dfrac{1}{2}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-1\right)}{\dfrac{1}{2}}=2;x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2m\)

\(x_A^2+x_B^2=12\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12\)

=>\(2^2-2\cdot\left(-2m\right)=12\)

=>4+4m=12

=>4m=8

=>m=2(nhận)

Bài 29:

1: Thay x=1 vào (d), ta được:

\(y=2x+1\)

2: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-x^2=2x+1\)

=>\(x^2+2x+1=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2=0\)

=>x+1=0

=>x=-1

Thay x=-1 vào y=2x+1, ta được:

\(y=2\cdot\left(-1\right)+1=-1\)

Vậy: (P) giao (d) tại A(-1;-1)

3: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-x^2=2x+m\)

=>\(x^2+2x+m=0\)

\(\text{Δ}=2^2-4\cdot1\cdot m=-4m+4\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+4>0

=>-4m>-4

=>m<1

Theo vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2;x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\)

\(\dfrac{1}{x_A^2}+\dfrac{1}{x_B^2}=6\)

=>\(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{\left(x_1x_2\right)^2}=6\)

=>\(\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=6\)

=>\(\left(-2\right)^2-2m=6m^2\)

=>\(6m^2+2m-4=0\)

=>\(3m^2+m-2=0\)

=>\(\left(m+1\right)\left(3m-2\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+1=0\\3m-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-1\left(nhận\right)\\m=\dfrac{2}{3}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔMPN vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MN^2=NH\cdot NP\)

=>\(NP\cdot1,8=3^2=9\)

=>NP=9:1,8=5(cm)

Ta có: ΔMNP vuông tại M

=>\(MN^2+MP^2=NP^2\)

=>\(MP^2=5^2-3^2=16\)

=>\(MP=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Ta có: ΔHPM vuông tại H

mà HQ là đường trung tuyến

nên QH=QM

=>\(\widehat{QHM}=\widehat{QMH}\)

Xét ΔMNP vuông tại M có \(sinN=\dfrac{MP}{NP}=\dfrac{4}{5}\)

nên \(\widehat{N}\simeq53^08'\)

mà \(\widehat{N}=\widehat{HMP}\)

nên \(\widehat{HMP}=\widehat{HMQ}\simeq53^08'\)

=>\(\widehat{QHM}\simeq53^08'\)

Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là x(giờ) và y(giờ)

(ĐK: x>0; y>0)

Trong 1h, vòi 1 chảy được: \(\dfrac{1}{x}\left(bể\right)\)

Trong 1h, vòi 2 chảy được: \(\dfrac{1}{y}\left(bể\right)\)

Trong 1h, hai vòi chảy được:

\(\dfrac{1}{6+\dfrac{2}{3}}=1:\dfrac{20}{3}=\dfrac{3}{20}\)

=>\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{20}\left(1\right)\)

Trong 4h, vòi 1 chảy được: \(\dfrac{4}{x}\left(bể\right)\)

Trong 5h, vòi 2 chảy được: \(\dfrac{5}{y}\left(bể\right)\)

Nếu vòi 1 chảy trong 4h và vòi 2 chảy trong 5h thì hai vòi chảy được 2/3 bể nên \(\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{y}=\dfrac{2}{3}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{20}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{y}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{3}{5}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{5}{y}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{-1}{15}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{20}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=15\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{20}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=12\\y=15\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: thời gian chảy một mình đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là 12 giờ và 15 giờ

Bài 18:

a) Với m = 2 ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=4\cdot2x-4\cdot2^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^2=8x-14\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+14=0\)

\(\Delta=\left(-8\right)^2-4\cdot1\cdot14=8>0\)

Tọa độ giao điểm 1: 

\(x_1=\dfrac{8+2\sqrt{2}}{2}=4+\sqrt{2}\Rightarrow y_1=18+8\sqrt{2}\)

Tọa độ giao điểm 2: 

\(x_2=\dfrac{8-2\sqrt{2}}{2}=4-\sqrt{2}\Rightarrow y_2=18-8\sqrt{2}\)

b) Ta có pt hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 

\(x^2=4mx-4m^2+m\)

\(\Leftrightarrow x^2-4mx+4m^2-m=0\)

\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(4m^2-m\right)=16m^2-16m^2+4m=4m\)

Có 2 nghiệm phân biệt khi \(m>0\)

Theo vi-et và đề bài ta có::

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=4m\\x_Ax_B=4m^2-m\\x_A=3x_B\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x_B=4m\Rightarrow x_B=m\)

\(\Rightarrow x_A=\dfrac{4m^2-m}{m}=4m-1\) 

Mà: \(x_A=3x_B\)

Ta có: \(4m-1=3m\)

\(\Leftrightarrow m=1\left(tm\right)\)

Bài 19:

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=x-m+2\)

=>\(x^2=2x-2m+4\)

=>\(x^2-2x+2m-4=0\)(1)

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m-4\right)\)

\(=4-8m+16=-8m+20\)

Để (P) tiếp xúc với (d) thì Δ=0

=>-8m+20=0

=>m=2,5

Khi đó, phương trình (1) sẽ trở thành:

\(x^2-2x+2\cdot2,5-4=0\)

=>\(x^2-2x+1=0\)

=>(x-1)^2=0

=>x=1

Thay x=1 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{1}{2}\cdot1^2=\dfrac{1}{2}\)

Vậy: Tọa độ tiếp điểm là \(A\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\)

b: Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2;x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-4\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>-8m+20>0

=>-8m>-20

=>m<2,5

\(y_1+y_2>3x_1x_2\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)>3x_1x_2\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]>3x_1x_2\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left[2^2-2\left(2m-4\right)\right]>3\cdot\left(2m-4\right)\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left(4-4m+8\right)>3\left(2m-4\right)\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left(-4m+12\right)>3\left(2m-4\right)\)

=>\(-2m+6-6m+12>0\)

=>-8m+18>0

=>-8m>-18

=>m<18/8=9/4

Bài 26: 

a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(x^2=6x-5\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\) 

\(\Delta=\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot5=16>0\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Tọa độ giao diểm 1: 

\(x_1=\dfrac{6+\sqrt{16}}{2}=5\Rightarrow y_1=5^2=25\)

Tọa độ giao điểm 2:

\(x_1=\dfrac{6-\sqrt{16}}{2}=1\Rightarrow y_2=1^2=1\)

b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và `(d_m)` là:

\(x^2=mx+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx-1=0\)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot1\cdot-1=m^2+4>0\forall m\)

Hay (P) và `(d_m)` luôn cắt nhau ở hai điểm phân biệt

Theo vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Mà: \(\left(x_1^2+1\right)\left(x_2^2+1\right)=36\)

\(\Leftrightarrow x_1^2x_2^2+x_1^2+x_2^2+1=36\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+1=36\)

\(\Leftrightarrow\left(-1\right)^2+m^2-2\cdot\left(-1\right)+1=36\)

\(\Leftrightarrow1+m^2+2+1=36\)

\(\Leftrightarrow m^2=32\)

\(\Leftrightarrow m=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)

Bài 27:

a: Thay k=-2 vào (d), ta được:

\(y=\left(-2-1\right)x+4=-3x+4\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=-3x+4\)

=>\(x^2+3x-4=0\)

=>(x+4)(x-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=1\end{matrix}\right.\)

Thay x=-4 vào (P), ta được:

\(y=\left(-4\right)^2=16\)

Thay x=1 vào (P), ta được:

\(y=1^2=1\)

Vậy: tọa độ giao điểm là A(-4;16); B(1;1)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=\left(k-1\right)x+4\)

=>\(x^2-\left(k-1\right)x-4=0\)

a=1; b=-k+1; c=-4

Vì a*c=-4<0

nên (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

c: Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=k-1;x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-4\)

\(y_1+y_2=y_1y_2\)

=>\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1x_2\right)^2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(-4\right)^2=16\)

=>\(\left(k-1\right)^2-2\cdot\left(-4\right)=16\)

=>\(\left(k-1\right)^2=8\)

=>\(k-1=\pm2\sqrt[]{2}\)

=>\(k=\pm2\sqrt{2}+1\)

Bài 23: \(y=m\left(x-1\right)-2=mx-m-2\)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
\(\dfrac{-x^2}{4}=mx-m-2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}x^2+mx-m-2=0\)

\(\Delta=m^2-4\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\left(-m-2\right)=m^2+m+2\)

\(=\left(m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{7}{4}=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\forall m\)

Nên (P) và (d) luôn cắt nhau ở hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi 

Theo vi-ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=\dfrac{-m}{\dfrac{1}{4}}=-4m\\x_Ax_B=\dfrac{-m-2}{\dfrac{1}{4}}=-4m-8\end{matrix}\right.\) 

\(x^2_Ax_B+x^2_Bx_A\)

\(=x_Ax_B\left(x_A+x_B\right)\)

\(=-4m\cdot\left(-4m-8\right)\)

\(=16m^2+32m\)

\(=\left[\left(4m\right)^2+2\cdot4m\cdot4+4^2\right]-16\)

\(=\left(4m+4\right)^2-16\ge-16\forall m\)

Dấu "=" xảy ra: \(4m+4=0\Leftrightarrow m=-1\)

Vậy: ... 

Bài 22:

a: Thay m=1 vào (d), ta được:

\(y=1\cdot x-\dfrac{1}{2}\cdot1^2+1+1=x+\dfrac{3}{2}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=x+\dfrac{3}{2}\)

=>\(x^2=2x+3\)

=>\(x^2-2x-3=0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Thay x=3 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{1}{2}\cdot3^2=\dfrac{9}{2}\)

Thay x=-1 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-1\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

Vậy: (P) cắt (d) tại \(A\left(3;\dfrac{9}{2}\right);B\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)\)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=mx-\dfrac{1}{2}m^2+m+1\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-mx+\dfrac{1}{2}m^2-m-1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}m^2-m-1\right)\)

\(=m^2-2\left(\dfrac{1}{2}m^2-m-1\right)\)

\(=m^2-m^2+2m+2=2m+2\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>2m+2>0

=>2m>-2

=>m>-1

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{m}{\dfrac{1}{2}}=2m\)

\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\dfrac{1}{2}m^2-m-1}{\dfrac{1}{2}}=2\left(\dfrac{1}{2}m^2-m-1\right)=m^2-2m-2\)

\(y_1+y_2=5\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)=5\)

=>\(x_1^2+x_2^2=10\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)

=>\(\left(2m\right)^2-2\cdot\left(m^2-2m-2\right)=10\)

=>\(4m^2-2m^2+4m+4-10=0\)

=>\(2m^2+4m-6=0\)

=>\(m^2+2m-3=0\)

=>(m+3)(m-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-3\left(loại\right)\\m=1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 17:

a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2=-2x+m\)  

\(\Leftrightarrow x^2+2x-m=0\) (*) 

\(\Delta=2^2-4\cdot1\cdot-m=4+4m\)

Để (P) và (d) có giao điểm thì: \(4+4m\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

(P) và (d) cắt nhau ở điểm có hoành độ là 2 

Thay x = 2 vào (*) ta có:

\(2^2+2\cdot2-m=0\)

\(\Leftrightarrow8-m=0\)

\(\Leftrightarrow m=8\left(tm\right)\)

b) Để (P) và (d) cắt nhau ở hai điểm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow\Delta=4+4m>0\Leftrightarrow m>-1\) 

Theo vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)

Mà: \(x_1^2+x_2^2=6x_1^2x_2^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\left(x_1x_2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(-2\right)^2-2\cdot\left(-m\right)=6\cdot\left(-m\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4+2m=6m^2\)

\(\Leftrightarrow6m^2-2m-4=0\)

\(\Leftrightarrow3m^2-m-2=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4\cdot3\cdot-2=25>0\)

Có 2 m phân biệt:

\(m_1=\dfrac{1+\sqrt{25}}{6}=1\) (tm) 

\(m_2=\dfrac{1-\sqrt{25}}{6}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}\) (tm) 

bài 16:

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2\left(1-m\right)x+3\)

=>\(x^2-2\left(1-m\right)x-3=0\)

\(a=1;b=-2\left(1-m\right)=2m-2;c=-3\)

Vì \(a\cdot c=-3< 0\)

nên (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b: Thay y=1 vào (P), ta được:

\(x^2=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 và y=1 vào (d), ta được:

2(1-m)+3=1

=>2(1-m)=-2

=>1-m=-1

=>m-1=1

=>m=2

Thay x=-1 và y=1 vào (P), ta được:

-2(1-m)+3=1

=>2(m-1)=-2

=>m-1=-1

=>m=0

Bài 3:

1) \(x^2-5x+6=0\) (1) 

a) \(a=1;b=-5;c=6\)

b) \(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6=1>0\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 

\(x_1=\dfrac{5+\sqrt{1}}{2}=3\)

\(x_2=\dfrac{5-\sqrt{1}}{2}=2\)

Vậy: ....

2) \(x^2-mx+m-1=0\)(2)

a) \(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-1\right)=m^2-4m+4\)

\(=m^2-2\cdot m\cdot2+2^2=\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m 

b) Thay \(x=3\) (2) ta có: 

\(3^2-3m+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow-2m+8=0\)

\(\Leftrightarrow-2m=-8\)

\(\Leftrightarrow m=4\) 

Theo vi-ét: \(x_1+x_2=\dfrac{-\left(-m\right)}{1}=m=4\)

\(\Rightarrow x_2=4-x_1=4-3=1\)

Bài 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=5\\2x+3y=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x-5\\2x+3\left(3x-5\right)=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x-5\\2x+9x-15=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x-5\\11x-15=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x-5\\11x=33\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\cdot3-5\\x=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=4\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy: ...