\(x^2-3x-1=0\)

Theo vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=-1\\x_1+x_2=3\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{x_1}{x_1-2x_2}+\dfrac{x_2}{x_2-2x_1}\)

\(=\dfrac{x_1\left(x_2-2x_1\right)}{\left(x_1-2x_2\right)\left(x_2-2x_1\right)}+\dfrac{x_2\left(x_1-2x_2\right)}{\left(x_1-2x_2\right)\left(x_2-2x_1\right)}\)

\(=\dfrac{x_1\left(x_2-2x_1\right)+x_2\left(x_1-2x_2\right)}{\left(x_1-2x_2\right)\left(x_2-2x_1\right)}\)

\(=\dfrac{x_1x_2-2x_1^2+x_1x_2-2x_2^2}{x_1x_2-2x_1^2-2x_2^2+4x_1x_2}\)

\(=\dfrac{2x_1x_2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)}{5x_1x_2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)}\)

\(=\dfrac{2x_1x_2-2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]}{5x_1x_2-2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]}\)

\(=\dfrac{2x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2}{5x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2}\)

\(=\dfrac{6x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)^2}{9x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)^2}\)

\(=\dfrac{6\cdot\left(-1\right)-2\cdot3^2}{9\cdot\left(-1\right)-2\cdot3^2}\) 

\(=\dfrac{-6-18}{-9-18}\)

\(=\dfrac{8}{9}\)

1, Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(x^2=x+m\) (1) 

\(\Leftrightarrow x^2-x-m=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)=1+4m\)

Để (P) và (d) cắt nhau ở 2 điểm phân biệt thì \(\Delta>0\)

\(\Rightarrow1+4m>0\)

\(\Leftrightarrow4m>-1\)

\(\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{4}\)  

2, Để (d) và (P) chỉ tiếp xúc với nhau thì pt (1) chỉ có 1 nghiệm duy nhất hay \(\Delta=0\)

\(\Rightarrow1+4m=0\)

\(\Leftrightarrow4m=-1\)

\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{4}\) 

3, Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d') và (P) là:

\(x^2=b\)

\(\Leftrightarrow x^2-b=0\) (2)  

\(\Delta=0^2-4\cdot1\cdot\left(-b\right)=4b\)

Để (d') và (P) cắt nhau ở 2 điểm pb thì \(b>0\) 

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{b}\right)\left(x+\sqrt{b}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1=\sqrt{b};x_2=-\sqrt{b}\)

Tọa độ của A và B là: \(A\left(-\sqrt{b};b\right);B\left(\sqrt{b};b\right)\)

Do A và B đối xứng với trục Oy nên: \(OA=OB\) 

Mà ΔOAB đều nên: \(OA=AB\)

\(\Rightarrow\sqrt{b^2+b}=2\sqrt{b}\) 

\(\Leftrightarrow b^2+b=\left(2\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow b^2-3b=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\left(ktm\right)\\b=3\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: ...

Bị lỗi rồi bạn ! 

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x+5y-2=0\\5x+y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x+5\left(2-5x\right)-2=0\\y=2-5x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x+10-25x-2=0\\y=2-5x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-28x+8=0\left(1\right)\\y=2-5x\end{matrix}\right.\)

Xét pt (1) ta có:

\(\Delta=\left(-28\right)^2-4\cdot1\cdot8=752>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{28+\sqrt{752}}{2}=14+2\sqrt{47}\\x_2=\dfrac{28-\sqrt{752}}{2}=14-2\sqrt{47}\end{matrix}\right.\)

Với \(x_1=14+2\sqrt{47}\Rightarrow y_1=2-5\cdot\left(14+2\sqrt{47}\right)=-68-10\sqrt{47}\) 

Với \(x_2=14-2\sqrt{47}\Rightarrow y_2=2-5\cdot\left(14-2\sqrt{47}\right)=-68+10\sqrt{47}\)

Vậy: ... 

\(y=\left(4m+2\right)x^2\left(m\ne-\dfrac{1}{2}\right)\left(1\right)\)

Để \(\left(1\right)\) đạt giá trị lớn nhất là \(0\)

\(\Leftrightarrow4m+2< 0\)

\(\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(m< -\dfrac{1}{2}\) thỏa mãn đề bài.

Đặt \(\dfrac{1}{x}\)= a; \(\dfrac{1}{y}\)= b, ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{1}{80}\\10a+12b=\dfrac{2}{15}\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}10a+10b=\dfrac{1}{8}\\10a+12b=\dfrac{2}{15}\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2b=-\dfrac{1}{120}\\a+b=\dfrac{1}{80}\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{240}\\a=\dfrac{1}{80}-\dfrac{1}{240}=\dfrac{1}{120}\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{120}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{240}\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=120\\y=240\end{matrix}\right.\)
 

Thay x=3 vào y=3x-1, ta được:

\(y=3\cdot3-1=8\)

Thay x=3 và y=8 vào y=ax², ta được:

\(a\cdot3^2=8\)

=>9a=8

=>\(a=\dfrac{8}{9}\)

\(y=ax^2\) cắt \(y=3x-1\) tại điểm có hoành độ bằng 3 ⇒ x = 3 

Thay `x=3` vào \(y=3x-1\) ta có: \(y=3\cdot3-1=8\)

Thay `x=3` và `y=8` vào \(y=ax^2\) ta có:

\(8=a\cdot3^2\)

\(\Leftrightarrow9a=8\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{8}{9}\) 

Vậy: ...