Không gian mẫu: \(6!\)

Xếp 3 quyẻn Toán cạnh nhau: \(3!\) cách

Xếp 3 quyển Lý cạnh nhau: \(3!\) cách

Hoán vị 2 bộ toán và lý: \(2!\) cách

Xác suất: \(P=\dfrac{3!.3!.2!}{6!}=\dfrac{1}{10}\)

Lần lượt kẻ \(AE\perp SB\)  (1) và \(AF\perp SD\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AE\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AE\perp\left(SBC\right)\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(AF\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa (SBC) và (SCD) là góc giữa AE và AF

Cũng từ \(BC\perp\left(SAB\right)\) mà \(BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBCD) và đáy

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\Rightarrow SA=AB.tan60^0=a\sqrt{3}\)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AF=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=2a\) ; \(SD=a\sqrt{6}\)

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=2a\Rightarrow cos\widehat{BSD}=\dfrac{SB^2+SD^2-BD^2}{2SB.SD}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

\(SE=\sqrt{SA^2-AE^2}=\dfrac{3a}{2}\) ; \(SF=\sqrt{SA^2-AF^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(\Rightarrow EF=\sqrt{SE^2+SF^2-2SE.SF.cos\widehat{BSD}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{EAF}=\dfrac{AE^2+AF^2-EF^2}{2AE.AF}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm A'A, BC và MN

\(\left\{{}\begin{matrix}MN||B'C'\\DN||AB'\end{matrix}\right.\) (đường trung bình tam giác) \(\Rightarrow\left(AB'C'\right)||\left(DNM\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa (AB'C') bằng góc giữa (DNM) và (BCMN)

\(MN\perp A'F\) (A'MN là tam giác đều), và \(A'A\perp\left(A'B'C'\right)\Rightarrow A'A\perp MN\)

\(\Rightarrow MN\perp\left(A'AEF\right)\) \(\Rightarrow\)  góc giữa (DNM) và (BCMN) là \(\widehat{DFE}\) nếu nó là góc nhọn và \(180^0-\widehat{DFE}\) nếu nó là góc tù

\(MN=\dfrac{1}{2}B'C'=\sqrt{3}\Rightarrow A'F=\dfrac{MN\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

\(\Rightarrow DF=\sqrt{A'F^2+A'D^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\)

\(AE=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=3\Rightarrow DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{10}\)

Gọi G là trung điểm AE \(\Rightarrow FG\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}FG=A'A=2\\GE=\dfrac{1}{2}AE=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(EF=\sqrt{FG^2+EG^2}=\dfrac{5}{2}\)

Áp dụng định lý hàm cos:

\(cos\widehat{DFE}=\dfrac{DF^2+EF^2-DE^2}{2DF.EF}=...\Rightarrow\widehat{DFE}=...\)

Trong mp (SAC), từ A kẻ \(AD\perp SC\) (D thuộc SC) (1)

Trong mp (ABC), qua A kẻ đường thẳng vuông góc AC cắt BC kéo dài tại E

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AE\\AE\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AE\perp\left(SAC\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE\perp AE\\AE\perp SC\left(2\right)\end{matrix}\right.\) 

(1);(2) \(\Rightarrow SC\perp\left(ADE\right)\)

Mà \(SC=\left(SAC\right)\cap\left(SBC\right)\Rightarrow\widehat{ADE}\) là góc giữa (SAC) và (SBC)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2a\)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Rightarrow AD=\dfrac{2a\sqrt{33}}{11}\)

\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AE^2}\Rightarrow AE=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{AC^2-AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{ADE}=\dfrac{AE}{AD}=...\)

Gọi D là trung điểm AB \(\Rightarrow A'D\perp\left(ABC\right)\) 

\(\Rightarrow CD\) là hình chiếu vuông góc của A'C lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{A'CD}\) là góc giữa A'C và (ABC) \(\Rightarrow\widehat{A'CD}=60^0\)

\(CD=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\) (trung tuyến tam giác đều)

\(\Rightarrow A'D=CD.tan60^0=3a\)

Từ D kẻ \(DE\perp AC\) (E thuộc AC)

Mà \(A'D\perp\left(ABC\right)\Rightarrow A'D\perp AC\)

\(\Rightarrow AC\perp\left(A'DE\right)\Rightarrow\widehat{AED}\) là góc giữa (A'AC) và (ABC)

\(DE=AD.sinA=a.sin60^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow A'E=\sqrt{A'D^2+DE^2}=\dfrac{a\sqrt{39}}{2}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{A'ED}=\dfrac{DE}{A'E}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\AD\perp CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

Mà CD là giao tuyến (SCD) và (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}=60^0\Rightarrow SA=AD.tan60^0=3a\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Mà \(BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABCD)

\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=3\Rightarrow\widehat{SBA}=...\)

b.

Từ A kẻ \(AE\perp BD\)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAE\right)\Rightarrow\widehat{SEA}\) là góc giữa (SBD) và (ABCD)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(tan\widehat{SEA}=\dfrac{SA}{AE}=2\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SEA}=...\)

1: y'=5x^4+3*4x^3-2x+3

=5x^4+12x^3-2x+3

2: y'=4x^3-3*3x^2-1/x^2

=4x^3-9x^2-1/x^2

3: \(y'=\left(\sqrt{x}\right)'\cdot\left(2x^2+1\right)+\left(2x^2+1\right)'\cdot\left(\sqrt{x}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\left(2x^2+1\right)+4x\cdot\sqrt{x}\)

5: 

\(y'=\dfrac{\left(x+1\right)'\cdot\left(x-3\right)-\left(x-3\right)'\cdot\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)^2}\)

\(=\dfrac{x-3-x-1}{\left(x-3\right)^2}=\dfrac{-4}{\left(x-3\right)^2}\)

1.

$y'=((2x^2+x+1)^{100})'=100(2x^2+x+1)^{99}(2x^2+x+1)'$

$=100(2x^2+x+1)^{99}(4x+1)$

2.

$y'=((2-3x^2)^{2020})'=2020(2-3x^2)^{2019}(2-3x^2)'$

$=2020(2-3x^2)^{2019}(-6x)=-12120x(2-3x^2)^{2019}$

3.

$y'=(\frac{1}{3x^2+x+1})'=\frac{-(3x^2+x+1)'}{(3x^2+x+1)^2}=\frac{-(6x+1}{(3x^2+x+1)^2}$

4.

$y'=[(2x^2+x+1)^{\frac{1}{2}}]'=\frac{1}{2}(2x^2+x+1)^{\frac{1}{2}-1}(2x^2+x+1)'$

$=\frac{1}{2\sqrt{2x^2+x+1}}.(4x+1)=\frac{4x+1}{2\sqrt{2x^2+x+1}}$

5.

\(y'=\frac{\sqrt{x^2+x+1}'(x-2)-(x-2)'\sqrt{x^2+x+1}}{(x-2)^2}\)

\(=\frac{\frac{(2x+1)(x-2)}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\sqrt{x^2+x+1}}{(x-2)^2}=\frac{\frac{(2x+1)(x-2)-2(x^2+x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{(x-2)^2}\)

\(=\frac{-5x-4}{2(x-2)^2\sqrt{x^2+x+1}}\)

6.

\(y'=[(2x^2+x+2)^{\frac{-1}{2}}]'=\frac{-1}{2}(2x^2+x+2)^{\frac{-1}{2}-1}(2x^2+x+2)'\)

\(=\frac{-1}{2}(2x^2+x+2)^{\frac{-3}{2}}(4x+1)\)