Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\) thì x, y, z > 0; x + y + z  = 1. Quy về: \(\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{yz}}+\sqrt{\frac{1}{y}+\frac{1}{zx}}+\sqrt{\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}}\ge\sqrt{\frac{1}{xyz}}+\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{y}}+\sqrt{\frac{1}{z}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x+yz}+\sqrt{yz}}+\frac{y}{\sqrt{y+zx}+\sqrt{zx}}+\frac{z}{\sqrt{z+xy}+\sqrt{xy}}\ge1\) (chuyển vế qua nhóm lại rồi liên hợp)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{x}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{yz}}\ge1\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{yz}}\ge1\)

BĐT này đúng! Thật vậy:

\(VT\ge\Sigma_{cyc}\frac{x}{\frac{\left(x+y\right)+\left(z+z\right)}{2}+\frac{\left(y+z\right)}{2}}=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c=3\)

j z bn cho mk xin thêm dấu vào chữ nhé ko hiểu lắm

Ta co:

\(M=\frac{9}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{abc}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{abc}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{abc}\)

Ta lai co:

\(a+b+c=1\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{1}{abc}\)

\(\Rightarrow M=\frac{9}{\Sigma_{cyc}a^2}+\Sigma_{cyc}\frac{2}{ab}\ge\frac{9}{\Sigma_{cyc}a^2}+\frac{18}{\Sigma_{cyc}ab}\left(1\right)\)

\(VT_{\left(1\right)}=\frac{9}{\Sigma_{cyc}a^2}+\frac{1}{\Sigma_{cyc}ab}+\frac{1}{\Sigma_{cyc}ab}+\frac{16}{\Sigma_{cyc}ab}\ge\frac{\left(3+1+1\right)^2}{\Sigma_{cyc}a^2+2\Sigma_{cyc}ab}+\frac{16}{\frac{\left(\Sigma_{cyc}a\right)^2}{3}}=\text{ }\frac{25}{\left(\Sigma_{cyc}a\right)^2}+48=\text{ }73\)

Dau '=' xay ra khi \(\text{ }a=b=c=\frac{1}{3}\)

@my-friend 

\(M\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{36}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(3+6\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=81\)

Dấu "=" xảy ra ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{a^2+b^2+c^2}=\frac{6}{2\left(ab+bc+ca\right)}\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

      Ta có A= \(2+2^2+2^3+....+2^{21}\)

           => A= \(2+2^2\left(2^3+2^4\right)+2^5\left(2^3+2^4\right)+......+2^{18}\left(2^3+2^4\right)+2^{21}\)

           => A=\(2+2^2.14+2^5.14+.....+2^{18}.14+2^{21}\)

          Vì trong A có thừa số 14 nên A chia hết cho 14

A=(2+2²+2³)+(2⁴+2⁵+2⁶)+...+(2¹⁹+2²⁰+2²¹)=14+2³(2+2²+2³)+...+2¹⁸(2+2²+2³)

A=14+2³.14+...+2¹⁸.14=14(1+2³+2⁶+...+2¹⁵+2¹⁸) chia hết cho 14

liệu có sai đề ko bạn?

2014.|x-12| + (x-12)² = 2013.|12-x|

=> 2014. | x-12| + ( x-12)² = 2013. |x-12|

=> 2014.|x-12| - 2013.|x-12| = -(x-12)²

=> |x-12| = -(x-12)²

Ta thấy |x-12| lớn hơn hoặc bằng 0 ,- (x-12)²  nhỏ hơn hoặc bằng 0 mà |x-12| = -( x-12)²

=> x-12 = 0

=> x=12

\(\text{ }DK:4x^2-18x+4-m\ge0\)

PT\(\Leftrightarrow16x+m-4+\sqrt{16x+m-4}+\frac{1}{4}-\left(4x^2-2x+\frac{1}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{16x+m-4}+\frac{1}{2}\right)^2-\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{16x+m-4}+2x\right)\left(\sqrt{16x+m-4}-2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{16x+m-4}=-2x\left(1\right)\\\sqrt{16x+m-4}=2x-1\left(2\right)\end{cases}}\)

PT(1)\(\Leftrightarrow4x^2-16x-m+4=0\)

De PT co nghiem thi 

\(\Delta^`=4m-48\ge0\)

\(\Rightarrow m\ge12\)

\(\Rightarrow x_1=2+\frac{1}{2}\sqrt{m-12};x_2=2-\frac{1}{2}\sqrt{m-12};x_3=2\)

\(\Rightarrow m\in\left\{12;13;14;15;16;18;...\right\}\)

PT(2) cung vay do :)

 35 chia hết cho ( x+3 ) => ( x+3 ) thuộc Ư(35) Ư(35) ={1;5;7;35} Vì ( x+3 ) không thể = 1 nên ta loại 1 +) ( x+3 ) = 5 thì x là 2 +) ( x+3 ) = 7 thì x là 4

đề là tìm x hả bn

(x+4) - (x+1) chia hết x+1. => x+4-x-1 chia hết cho x+1. => 3 chia hết chi x+1. => x+1 thuộc {1;3}. => x thuộc {0;2} ( thỏa mãn). Vậy có 2 giá trị x ...

bài tương tự đấy chứ mk ko lm đc x+3 nha thông cảm cho mk nha