Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn đó lần lượt tại C và D.
a) AC + BD =CD
b) Tam giác COD là tam giác vuông
c) OM^2 =MC MD
d) Tìm vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho CD nhỏ nhất
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(mx-y=2m-1\Leftrightarrow y=mx-2m+1\left(a=m;b=-2m+1\right)\)
Để (d) đi qua góc tọa độ thì: \(b=0\Rightarrow-2m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)
b)
\(mx-y=2m-1\\ \Leftrightarrow mx-2m-y+1=0\\ \Leftrightarrow m\left(x-2\right)-\left(y-1\right)=0\\ \Leftrightarrow m\left(x_0-2\right)-\left(y_0-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=2\\y_0=1\end{matrix}\right.\)
=> (d) luôn đi qua điểm (2;1) cố định
c) (d) cắt trục tung tại: \(\left(0;-2m+1\right)=>AO=\left|-2m+1\right|\)
(d) cắt trục tung tại: \(\left(\dfrac{2m-1}{m};0\right)=>BO=\left|\dfrac{2m-1}{m}\right|\)
\(S_{AOB}=\dfrac{1}{2}AO\cdot OB=\dfrac{1}{2}\left|-2m+1\right|\cdot\left|\dfrac{2m-1}{m}\right|\)
\(=\left|\dfrac{1}{2}\left(-2m+1\right)\dfrac{2m-1}{m}\right|\\ =\left|\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-\left(2m-1\right)^2}{m}\right|\\ =\left|\dfrac{-\left(2m-1\right)^2}{2m}\right|=\dfrac{\left(2m-1\right)^2}{\left|2m\right|}\)
Để \(S_{AOB}=4=>\dfrac{\left(2m-1\right)^2}{\left|2m\right|}=4\Leftrightarrow4m^2-4m+1=8\left|m\right|\)
TH1: m≥0 \(\Rightarrow4m^2-12m+1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}\\m=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)
TH2: m<0 \(\Rightarrow4m^2+4m+1=\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\)
Bài 4:
d:
ĐKXĐ: \(x\notin\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
\(\dfrac{x+4}{x-1}+\dfrac{x-4}{x+1}=\dfrac{x+8}{x-2}+\dfrac{x-8}{x+2}+6\)
=>\(\dfrac{\left(x+4\right)\left(x+1\right)+\left(x-4\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{\left(x+8\right)\left(x+2\right)+\left(x-8\right)\left(x-2\right)+6\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)
=>\(\dfrac{2x^2+8}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{2x^2+32+6x^2-24}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)
=>\(\dfrac{2x^2+8}{x^2-1}=\dfrac{8x^2+8}{x^2-4}\)
=>\(\left(2x^2+8\right)\left(x^2-4\right)=\left(8x^2+8\right)\left(x^2-1\right)\)
=>\(2x^4-32=8x^4-8\)
=>\(-6x^4=24\)
=>\(x^4=-4\left(loại\right)\)
Vậy: Phương trình vô nghiệm
c:
ĐKXĐ: \(x\notin\left\{-1;-3;-8;-10\right\}\)
\(\dfrac{2}{x^2+4x+3}+\dfrac{5}{x^2+11x+24}+\dfrac{2}{x^2+18x+80}=\dfrac{9}{52}\)
=>\(\dfrac{2}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{5}{\left(x+3\right)\left(x+8\right)}+\dfrac{2}{\left(x+8\right)\left(x+10\right)}=\dfrac{9}{52}\)
=>\(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+8}+\dfrac{1}{x+8}-\dfrac{1}{x+10}=\dfrac{9}{52}\)
=>\(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+10}=\dfrac{9}{52}\)
=>\(\dfrac{9}{\left(x+1\right)\left(x+10\right)}=\dfrac{9}{52}\)
=>(x+1)(x+10)=52
=>\(x^2+11x-42=0\)
=>(x+14)(x-3)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-14\left(nhận\right)\\x=3\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
b:
ĐXKĐ: \(x\notin\left\{-2;-3;-4;-5;-6\right\}\)\(\dfrac{1}{x^2+5x+6}+\dfrac{1}{x^2+7x+12}+\dfrac{1}{x^2+9x+20}+\dfrac{1}{x^2+11x+30}=\dfrac{1}{8}\)
=>\(\dfrac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}+\dfrac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\dfrac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}=\dfrac{1}{8}\)
=>\(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{1}{x+5}+\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x+6}=\dfrac{1}{8}\)
=>\(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+6}=\dfrac{1}{8}\)
=>\(\dfrac{x+6-x-2}{\left(x+2\right)\left(x+6\right)}=\dfrac{1}{8}\)
=>(x+2)(x+6)=32
=>\(x^2+8x-20=0\)
=>(x+10)(x-2)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-10\left(nhận\right)\\x=2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
a: \(\dfrac{x^2}{x^2+2x+2}+\dfrac{x^2}{x^2-2x+2}-\dfrac{4x^2-20}{x^4+4}=\dfrac{322}{65}\)
=>\(\dfrac{x^2\left(x^2-2x+2\right)+x^2\left(x^2+2x+2\right)-4x^2+20}{\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+2\right)}=\dfrac{322}{65}\)
=>\(\dfrac{x^4-2x^3+2x^2+x^4+2x^3+2x^2-4x^2+20}{x^4+4}=\dfrac{322}{65}\)
=>\(\dfrac{2x^4+20}{x^4+4}=\dfrac{322}{65}\)
=>\(322\left(x^4+4\right)=65\left(2x^4+20\right)\)
=>\(322x^4+1288-130x^4-1300=0\)
=>\(192x^4=12\)
=>\(x^4=\dfrac{1}{16}\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\left(nhận\right)\\x=-\dfrac{1}{2}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
a: \(\text{Δ}=\left[-2\left(m+2\right)\right]^2-4\left(3m+1\right)\)
\(=4\left(m^2+4m+4\right)-12m-4\)
\(=4m^2+16m+16-12m-4=4m^2+4m+12\)
\(=\left(2m+1\right)^2+11>=11>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì a*c<0
=>\(1\left(3m+1\right)< 0\)
=>3m+1<0
=>3m<-1
=>\(m< -\dfrac{1}{3}\)
c:
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+2\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=3m+1\end{matrix}\right.\)
Sửa đề: \(M=x_1\left(3-x_2\right)+x_2\left(3-x_1\right)\)
\(=3\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2\)
=3(2m+4)-2(3m+1)
=6m+12-6m-2
=10
a: \(\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{9-2\cdot3\cdot\sqrt{5}+5}\)
\(=\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}=\left|3-\sqrt{5}\right|=3-\sqrt{5}\)
b: \(\sqrt{7-4\sqrt{7}+4}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2-2\cdot\sqrt{7}\cdot2+2^2}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}-2\right)^2}=\left|\sqrt{7}-2\right|=\sqrt{7}-2\)
ĐKXĐ: \(x\notin\left\{1;7\right\}\)
\(\dfrac{x-8}{x-7}=8+\dfrac{1}{1-x}\)
=>\(\dfrac{x-8}{x-7}=\dfrac{8-8x+1}{1-x}\)
=>\(\dfrac{x-8}{x-7}=\dfrac{-8x+9}{1-x}\)
=>\(\dfrac{x-8}{x-7}=\dfrac{8x-9}{x-1}\)
=>\(\left(8x-9\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-1\right)\)
=>\(8x^2-65x+63-x^2+9x-8=0\)
=>\(7x^2-56x+55=0\)
\(\text{Δ}=\left(-56\right)^2-4\cdot7\cdot55=1596>0\)
=>Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{56-2\sqrt{399}}{2\cdot7}=\dfrac{28-\sqrt{399}}{7}\left(nhận\right)\\x=\dfrac{28+\sqrt{399}}{7}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
a: \(\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot1+1^2}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1\)
b: \(\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2-2\cdot\sqrt{5}\cdot1+1^2}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}=\left|\sqrt{5}-1\right|=\sqrt{5}-1\)
c: \(\sqrt{1-2\sqrt{2}+2}=\sqrt{1^2-2\cdot1\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}=\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1\)
a: Xét (O) có
ΔMNQ nội tiếp
MQ là đường kính
Do đó: ΔMNQ vuông tại N
b: Xét (O) có
ΔMPQ nội tiếp
MQ là đường kính
Do đó ΔMPQ vuông tại P
=>MP\(\perp\)AQ tại P
Ta có: ΔMNQ vuông tại N
=>QN\(\perp\)AM
Xét ΔAMQ có
QN,MP là các đường cao
QN cắt MP tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔAMQ
=>AH\(\perp\)MQ
Sửa:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge ab+ac+ad+ae\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{a^2}{4}+ab+b^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{2}-b\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-c\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-d\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)
Dấu: "=" xảy ra: \(\dfrac{a}{2}=b=c=d=e\)
\(P=\dfrac{2a+4}{a\sqrt{a}-1}+\dfrac{\sqrt{a}+2}{a+\sqrt{a}+1}-\dfrac{2}{\sqrt{a}-1}\left(a\ne1;a\ge0\right)\\ =\dfrac{2a+4}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}+\dfrac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}-\dfrac{2\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\\ =\dfrac{2a+4+\left(a+2\sqrt{a}-\sqrt{a}-2\right)-2\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\\ =\dfrac{2a+4+a+\sqrt{a}-2-2a-2\sqrt{a}-2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\\ =\dfrac{a-\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}\)
\(a=3-2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}\right)^2-2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^2=\left(\sqrt{2}-1\right)^2\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}{\left(3-2\sqrt{2}\right)+\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{3-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1+1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{3-\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{7}\)
a: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
AC+BD
=CM+MD
=CD
b: \(\widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOA}+\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOB}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{AOB}=90^0\)
=>ΔCOD vuông tại O
c: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(OM^2=MC\cdot MD\)
giúp tôi ý d với bạn ơi