\(\sqrt{3-\sqrt{5}}.\left(3+\sqrt{5}\right).\left(\sqrt{10}.\sqrt{2}\right)\)

\(=\sqrt{6-2\sqrt{5}}.\left(3+\sqrt{5}\right).\sqrt{10}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}.\left(3+\sqrt{5}\right).\sqrt{10}\)

\(=\left(\sqrt{5}-1\right)\left(3+\sqrt{5}\right).\sqrt{10}\)

\(=\left(3\sqrt{5}+5-3-\sqrt{5}\right).\sqrt{10}\)

\(=\left(2\sqrt{5}+2\right).\sqrt{10}\)

\(=2\sqrt{50}+2\sqrt{10}\)

\(=10\sqrt{2}+2\sqrt{10}\)

a) Ta có:  \(4,5^2+6^2=56,25\);    \(7,5^2=56,25\)

=>  \(AB^2+AC^2=BC^2\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB . AC = AH . BC

=>  AH = (AB.AC) / BC  =   3,6

b) Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB² = BH . BC

=> BH = AB²/BC = 4,8

=> CH = BC - BH = 2,7

bài này hình như có trong đề olympic Toán Trung Quốc 2003 nè

Sử dụng Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(ay_1+by_2+cy_3+dy_4\right)^2\le\left(ab+cd\right)\left[\frac{\left(ay_1+by_2\right)^2}{ab}+\frac{\left(cy_3+dy_4\right)^2}{cd}\right]\)\(=\frac{\left(ay_1+by_2\right)^2}{ab}+\frac{\left(cy_3+dy_4\right)^2}{cd}\)

\(=\frac{a}{b}y_1^2+\frac{b}{a}y_2^2+\frac{c}{d}y_3^2+\frac{d}{c}y_4^2+2y_1y_2+2y_3y_4\)

\(\left(ax_4+bx_3+cx_2+dx_1\right)^2 \le\left(ab+cd\right)\left[\frac{\left(ax_4+bx_3\right)^2}{ab}+\frac{\left(cx_2+dx_1\right)^2}{cd}\right]\)\(=\frac{\left(ax_4+bx_3\right)^2}{ab}+\frac{\left(cx_2+dx_1\right)^2}{cd}\)

\(=\frac{a}{b}x_4^2+\frac{b}{a}x_3^2+\frac{c}{d}x_2^2+\frac{d}{c}x_1^2+2x_1x_2+2x_3x_4\)

Đặt:  \(P=\left(ay_1+by_2+cy_3+dy_4\right)^2+\left(ax_4+bx_3+cx_2+dx_1\right)^2-2\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{c^2+d^2}{cd}\right)\)

Từ các BĐT trên ta có:

\(P\le\frac{a}{b}y_1^2+\frac{b}{a}y_2^2+\frac{c}{d}y_3^2+\frac{d}{c}y_4^2+2y_1y_2+2y_3y_4+\frac{a}{b}x_4^2+\frac{b}{a}x_3^2+\frac{c}{d}x_2^2+\frac{d}{c}x_1^2+2x_1x_2+2x_3x_4-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\right)\)

\(=-\left(\frac{a}{b}x_1^2+\frac{b}{a}x_2^2\right)-\left(\frac{c}{d}x_3^2+\frac{d}{c}x_4^2\right)-\left(\frac{a}{b}y_4^2+\frac{b}{a}y_3^2\right)-\left(\frac{c}{d}y_2^2+\frac{d}{c}y_1^2\right)+2x_1x_2+2x_3x_4+2y_1y_2+2y_3y_4\)

\(\le-2x_1x_2-2x_3x_4-2y_4y_3-2y_2y_1+2x_1x_2+2x_3x_4+2y_1y_2+2y_3y_4=0\)

=> đpcm

chuẩn nè, hôm trc thầy mk chữa, mk thấy bài này cx có ở trg đó, tks bạn nhiều nhé <3

dinh lam nhung thoi vi chac chan se con nguoi vao lam ho :) 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{4\left(x^5-x^2\right)}{x^5+y^2+z^2}+1=\frac{5x^5-4x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}=\frac{3x^5+\left(2x^5+y^2+z^2-4x^2\right)}{x^5+y^2+z^2}\)

\(\ge\frac{3x^5+4\sqrt[4]{x^{10}y^2z^2}-4x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge\frac{3x^5}{x^5+y^2+z^2}=\frac{3x^4}{x^4+\frac{y^2+z^2}{x}}\ge\frac{3x^4}{x^4+yz\left(y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^4}{x^4+y^4+z^4}\)

suy ra:  \(\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge\frac{3}{4}.\frac{x^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{1}{4}\)

tương tự ta có: \(\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}\ge\frac{3}{4}.\frac{y^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{1}{4}\)

                    \(\frac{z^5-z^2}{z^5+y^2+x^2}\ge\frac{3}{4}.\frac{z^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{1}{4}\)

Cộng theo vế ta được:

\(VT\ge\frac{3}{4}.\frac{x^4+y^4+z^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{3}{4}=0\)

Vậy BĐT đc c/m

p/s: bài này mk cx k chắc (nhờ bn ktra nó kêu cứ sai sai nên mk cx k rõ) bạn tham khảo, sai đâu ib cho mk nhé

      thân ái!

\(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)

   \(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x+1}\right)}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)

  \(=\frac{\sqrt{x}+1+x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}+1}\)

  \(=\frac{x+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}+1}\)

  \(=\frac{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

sai đề :v

Ko sai dau ban

Nhân liên hợp :v

\(\left(x+\sqrt{3+x^2}\right)\left(x-\sqrt{3+x^2}\right)\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)=3\left(x-\sqrt{3+x^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow-3\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)=3\left(x-\sqrt{3+x^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{3+x^2}-\sqrt{3+y^2}\)                        (1)

Tương tự:\(\left(x+\sqrt{3+x^2}\right)\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)\left(y-\sqrt{3+y^2}\right)=3\left(y-\sqrt{3+y^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow-3\left(x+\sqrt{3+x^2}\right)=3\left(y-\sqrt{3+y^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{3+y^2}-\sqrt{3+x^2}\)                         (2)

Cộng (1) và (2)\(\Rightarrow2x+2y=0\Rightarrow x+y=0\)

Số phần công việc hai người công nhân làm trong 1 giờ là

                   1 : 8 = 1/8 ( công việc )

Số phần công việc người thứ nhất làm nhiều hơn người thứ hai trong 1 giờ là 

                   1 : 12 = 1/12 ( công việc )

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được số phần công việc là

                   ( 1/8 - 1/12 ) : 2 = 1/48 ( công việc )

Số thời gian người thứ nhất làm xong công việc là

                  1: 1/48 = 48 ( giờ )

Số thời gian người thứ hai làm xong công việc là

                 48 - 12 = 36 ( giờ )

                   ĐS   NT1   48 gio

                          NT2  36 giờ