\(A=x^2-6x-4=x^2-6x+9-13=\left(x-3\right)^2-13\ge-13\)

Vậy \(A_{min}=-13\Leftrightarrow x=3\)

\(B=x^2-x+1=x^2-2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Vậy \(B_{min}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Gọi số người của nhóm đó là \(x.\) Theo công thức ta có:

\(\frac{x\left(x-1\right)}{2}=15\)

\(x\left(x-1\right)=15\cdot2\)

\(x\left(x-1\right)=30\)

\(6\left(6-1\right)=30\)

\(\Rightarrow x=6\)

Vậy nhóm đó có \(6\)người.

Gọi 4 stn liên tiếp là k, k+1, k+2, k+3

Ta có k(k+1)(k+2)(k+3)+1

= k(k+3)(k+1)(k+2)+1

= (k² +3k)(k² +3k+2)+1

Đặt k² +3k = A

= A(A+2)+1

= A² +2A + 1

= (A+1)² => đpcm

#)Giải :

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a, a+1, a+2, a+3

Theo đề bài, ta có : \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)

\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)

\(=\left(a^3+3a+1-1\right)\left(a^3+3a+1+1\right)-1\)

\(=\left(a^3+3a+1\right)^2-1^2-1\)

\(=\left(a^3+3a+1\right)^2\left(đpcm\right)\)

Ta có:

A = -x² - 4x - 2 = -(x² +  4x + 4) + 2 = -(x + 2)² + 2

Ta luôn có: -(x + 2)² \(\le\)0 \(\forall\)x

=> -(x + 2)² + 2 \(\le\)2 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x + 2 = 0 <=> x = -2

Vậy Max của A = 2 tại x = -2 

(xem lại đề)

Cần phần đảo với phần giới hạn (nếu có) thôi nha mọi người, em làm được phần thuận rồi.

A B C H I M

Thuận: Lấy M là trung điểm BC. Khi đó IM là đường trung bình của \(\Delta\)BHC => IM // HC

Vì HC vuông góc BH nên IM vuông góc BH hay ^BIM = 90⁰ => I thuộc đường tròn (MB)

M là trung điểm đoạn BC cố định => BM cố định => I di chuyển trên (MB) cố định.

Đảo: M là trung điểm BC, đường tròn (BM) cắt BH tại I. Có ngay MI // CH

Xét \(\Delta\)CBH có: M là trung điểm BC, MI // HC, I thuộc BH => I là trung điểm BH.

Giới hạn: Xét A không trùng với B,C. Theo chứng minh phần thuận thì I nằm trên (BM)

Xét A trùng B: Khi đó AC trùng BC. Mà BH vuông góc AC tại H nên H trùng B => I trùng B

Xét A trùng C: Suy ra BH trùng BC. Khi đó trung điểm I của BH trùng với M

Vậy điểm I di động trên cả đường tròn đường kính BM.

\(VP=\left(a+b\right)^2-4ab\)

        \(=a^2+2ab+b^2-4ab\)

        \(=a^2-2ab+b^2\)

         \(=\left(a-b\right)^2=VT\)

 Vậy \(\left(a-b\right)^2=\left(a+b\right)^2-4ab\)

vp va vt la gi vay